拉马努金Cayley图的刻画与扩张图类的构造

In recent years, spectral graph theory has been a research hotspot both at home and abroad, and it has attracted considerable studies from many experts and scholars. This project will first investigate the spectra of Cayley graphs, and further study two questions related to the spectra of Cayley graphs: characterization of Ramanujan Cayley graphs and construction of expander families. This project mainly includes the following research contents. 1. We will investigate the spectra of generalized Hamming graphs and the spectra of Cayley graphs over symmetric groups, and we will characterize integral Cayley graphs over symmetric groups and dihedral groups. 2. We will characterize Ramanujan generalized Hamming graphs and Ramanujan Cayley graphs over symmetric groups and dihedral groups. 3. We will use Cayley graphs over symmetric groups to construct new expander families, and we will investigate the spectra of variants of corona and the spectra of 3-lift operations and then use them to construct new expander families. This project involves spectral graph theory, group theory, number theory etc., and it is an interactional, penetrative, comprehensive and multidisciplinary research project. This project will deepen the study of the spectra of Cayley graphs and obtain more results on the spectra of Cayley graphs; broaden the family of integral Cayley graphs and the family of Ramanujan Cayley graphs; and provide new methods of constructing expander families.

近年来，图谱理论已成为国内外研究热点，引起了众多专家学者的广泛研究。本项目首先研究Cayley图的谱，进一步研究与Cayley图的谱相关的两个问题：拉马努金Cayley图的刻画与扩张图类的构造。主要包括：1. 研究广义Hamming图和定义在对称群上的Cayley图的谱，并刻画定义在对称群和二面体群上的整谱Cayley图。2. 刻画拉马努金广义Hamming图以及定义在对称群和二面体群上的拉马努金Cayley图。3. 利用定义在对称群上的Cayley图来构造新的扩张图类；研究冠图的变体运算和图的3-lift运算的谱，并利用它们来构造新的扩张图类。本项目研究内容涉及到图谱理论、群论、数论等，是一个多学科相互交叉、渗透、影响的综合性研究课题。本项目将深化Cayley图的谱的研究，得到更多Cayley图的谱，拓宽整谱Cayley图和拉马努金Cayley图的范围，并为扩张图类的构造提供新的方法。

近年来，图谱理论已成为国内外研究热点，引起了众多专家学者的广泛研究。本项目首先研究凯莱图的谱，进一步研究与凯莱图的谱相关的两个问题：拉马努金凯莱图的刻画与扩张图类的构造，研究内容与重要结果主要包括：1. 研究了定义在有限交换环上的单位一致双凯莱图及其补图、线图的谱，确定了定义在有限交换环上的单位一致双凯莱图及其补图、线图的能量，并给出了定义在有限交换环上的单位一致双凯莱图及其补图、线图是拉马努金图或超能图的充分必要条件；2. 研究了定义在有限交换环上的单位1-匹配双凯莱图及其线图的谱，确定了定义在有限交换环上的单位1-匹配双凯莱图及其线图的能量，并给出了定义在有限交换环上的单位1-匹配双凯莱图及其线图是超能图的充分必要条件；3. 定义了两类图运算：剖分-点交图和剖分-边交图，刻画了这两类图运算的谱，并利用这两类图运算构造出了无穷多的同谱图；同时，也发现这两类图运算无法帮助我们构造出扩张图类；4. 研究了NEPS图运算的谱性质，给出了一些存在完美态传递的NEPS图运算，同时，刻画了一些不存在完美态传递的NEPS图运算。此外，我们还研究了随机图、随机多部图、随机混合图的一些谱性质；证明了一些图可由它们的Aα谱刻画等。本项目研究内容涉及到图谱理论、群论、数论等，是一个多学科相互交叉、渗透、影响的综合性研究课题。本项目深化了凯莱图的谱的研究，得到了更多凯莱图的谱，拓宽了拉马努金凯莱图的范围。本项目研究凯莱图的谱，将为量子网络中的完美态传递的存在性研究提供理论支撑；研究拉马努金图，将为通讯网络中的一些极值问题的有效解决提供理论工具。