Cayley图的匹配可扩性和semi-Cayley图的谱

Cayley图和semi-Cayley图都是由有限群导出的重要的高对称性图，由于具有很强的应用背景，尤其是在网络应用方面，从而得到了广泛的研究。特别地，于青林等人刻画了交换群的Cayley图的2-可扩性，并提出了如下两个公开问题：(1) 刻画交换群的Cayley图的3-可扩性和k-可扩性；(2) 刻画群的Cayley图的1-可扩性和2-可扩性。本项目主要围绕Cayley图的匹配可扩性和semi-Cayley图的谱，刻画奇阶Cayley图的几乎2-可扩性；研究Quasi-abelian Cayley图和其它一些群类的Cayley图的匹配可扩性，在此基础上尝试解决上述公开问题；研究交换群的semi-Cayley图的拉普拉斯谱、无符号拉普拉斯谱以及相关的谱问题。本项目的研究将丰富群与图的研究，不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用前景。

本项目是群与图的研究。我们刻画了quasi-abelian Cayley图的可扩性，对这类2-可扩的Cayley图交了分类;我们得到了群的semi-Cayley图的拉谱拉斯谱和无符号拉谱拉斯谱的计算公式；群的Cayley图都是正则图，我们分别得到了正则图的线图、剖分图、全图的基尔霍夫指标的计算公式和下界。作为应用，我们分别得到了完全图，正则完全二部图，圈的线图，剖分图，全图的基尔霍夫指标的计算公式；刻画了连通的最小度至少为2且恰有两个主特征值的三圈图；得到了图的拟拉普拉斯能量的一个新的下界，特别地，也得到了正则图的线图、剖分图、全图的拟拉普拉斯能量的上界和下界。刻画了完全单周期半群的Cayley图的点可迁性，得到了完全单周期半群的Cayley图是保色自同构-点可迁的、自同态-点可迁的和保色自同态-点可迁的的充分必要条件。本项目的研究将丰富群与图的研究内容，开辟新的研究途径，促进二者的学科交叉与共同发展。