有理曲面上的奇特对偶猜想

Strange Duality conjecture was first posed in 1990s. It was formulated for all cases over curves, and has been proved around 2007. One can also formulate the conjecture for some special cases over surfaces. On surfaces Le Potier once gave a set-up of this conjecture for some kind of cases, and this formulation is also called Le Potier's strange duality. Our project aims at studying Le Potier's strange duality conjecture over rational surfaces. There are two moduli spaces over the surface involved in this conjecture. We choose one to be moduli spaces of one-dimensional semistable sheaves, and the other to be of torsion-free semistable sheaves. We will extend our results in previous NSFC project and try to verify the strange duality between moduli spaces of torsion-free semistable sheaves with higher rank, and moduli spaces of one-dimensional semistable sheaves. Also we will make use of wall-crossing theory, searching for more application of this popular and powerful tool in moduli theory.

奇特对偶猜想于上世纪九十年代提出，对于曲线情形有统一的建立，并于 2007 年前后被完全证明。对于曲面情形，奇特对偶猜想只对某些类情形建立起来了，其中由 Le Potier 提出了一类形式，又被称为 Le Potier 的奇特对偶猜想。本项目旨在研究有理曲面上的 Le Potier 奇特对偶猜想。猜想中涉及曲面上的两个半稳定层模空间，我们选取其中之一为一维半稳定层模空间，而另一个为无挠半稳定层模空间。我们将拓展在之前的国家自然科学基金项目中所做出的结果，研究更高秩的无挠层模空间与一维半稳定层模空间之间奇特对偶的正确性。另外我们还将同时联系利用越墙理论，探寻这种热门的强大工具在模空间理论中的更多应用。

早在上世纪九十年代，Le Potier 就针对曲面上的一类特殊情形建立了奇特对偶猜想，但之后很少有人研究。奇特对偶猜想在曲线上的情形已于 2007 年前后被完全证明，它的证明团队之一接着转向这个猜想在曲面上的情形，做了一些 K3 和 Abel 曲面上的好结果。本项目旨在研究有理曲面上的奇特对偶猜想。猜想中涉及曲面上的两个半稳定层模空间，我们选取其中之一为一维半稳定层模空间，而另一个为无挠半稳定层模空间。..在本项目中，我们把在之前在青年基金项目中发展出的一套方法进行了推广，这个推广使得我们获得了3秩的无挠层模空间与一维半稳定层模空间之间奇特对偶的成立，同时我们的递归方法也沿用至n秩，然而由于欠缺对n-1秩模空间的更多了解，我们没能通过此方法解决秩大于3的情形。..随后我们找到了箭图表示理论中也有一种类似的对偶关系。我们通过联系射影平面上层模空间与箭图表示空间，获得了射影平面上迄今最具一般性的结果：我们证明了大量的情形下猜想成立，而剩余情形下的奇特对偶映射是单射或满射。由于箭图表示与曲面上的层在更一般的情形下联系不够明确，我们的这套方法尚不能推广至其它有理曲面。..我们最后还有一个意外收获。从一维半稳定层模空间到支集曲线模空间有一个自然映射，这个映射在光滑曲线点上的纤维是该曲线的雅可比簇，而可约或者不约化的曲线上，映射的纤维就复杂得多。我们给出了这些纤维的维数明确公式，并由此推论出若曲面是Fano或者典范除子平凡，则这些纤维具有相同维数。这个结果对于这类模空间同调理论的研究中有多处应用。