三次曲面上的有理点及殆素数点分布问题研究

The study of integral or rational points on algebraic varieties is a fundamental theme in mathematics. For Fano varieties, the Manin conjecture predicts the distribution of rational points on the variety. A large amount of work has been directed at considering the Manin conjecture for cubic surfaces, which are one particular family of Fano varieties. However, there are still many cubic surfaces for which the Manin conjecture is far from being resolved. Moreover, the theory of distribution of primes is one of the cores in number theory. Inspired by a conjecture on the distribution of primes due to Sarnak, a lot of work is concerned with almost prime points on varieties. In this project, we combine algebraic geometry with analytic number theory and apply tools including unirationality of smooth cubic surfaces, conic bundle structure, the theory of universal torsors, the circle method and the weighted sieve, to investigate the distribution of rational points and almost prime points on cubic surfaces. More precisely, we investigate the Manin conjecture for certain singular cubic surfaces to establish the asymptotic formula for the number of rational points of bounded height on the surface. We also investigate the distribution of almost prime points on three families of cubic surfaces to understand the law of distribution of primes and how the geometric structure of cubic surfaces influences the arithmetic proposition.

代数簇上的整数点或有理点分布是数学中一个重要的研究领域。对于Fano代数簇，Manin猜想预测了其有理点的分布。三次曲面作为一类特殊的Fano代数簇，其Manin猜想问题引起了广泛关注。然而，目前仍有很多三次曲面的Manin猜想问题悬而未决。另一方面，素数分布是数论研究的核心内容之一。近年来，受到Sarnak关于素数分布的猜想的启发，研究各类代数簇上殆素数点的分布成为热点。本项目旨在将代数几何与解析数论相结合，采用光滑三次曲面的单有理性、二次曲线丛结构、泛异面直线理论、圆法和加权筛法等工具，研究三次曲面上的有理点及殆素数点分布问题。具体地，我们将研究特定的奇异三次曲面的Manin猜想问题，建立曲面上限定高度的有理点个数的渐近公式；此外我们还将研究三类三次曲面上的殆素数点分布问题，探索素数分布的规律以及三次曲面所具有的几何结构对其算术性质的影响。

素数分布理论是数论研究中的一个重要领域。受到Sarnak关于素数分布的猜想的启发，研究各类代数簇上殆素数点的分布成为热点。另一方面，研究代数簇上的整数点或有理点分布是数学的核心内容之一。对于Fano代数簇，Manin猜想预测了其有理点的分布。三次曲面作为一类特殊的Fano代数簇，其Manin猜想问题引起了广泛关注。然而，对于三次曲面或Fano代数簇上殆素数点的分布研究仍较少。本项目结合了代数几何与解析数论，利用光滑三次曲面的单有理性、二次曲线丛结构、圆法和加权筛法等工具，研究三次曲面上的殆素数点分布问题。具体地，我们建立了所有单有理代数簇的饱和数上界，以更好地理解素数分布的规律。该结果不仅仅是对某一特定的三次曲面，而是覆盖了一大类代数簇。同时，对于某些具有特定几何性质的代数簇，如Fermat三次三维体，我们得到了更好的结果。这表明了代数簇所具有的几何结构与其算术性质的联系。此外，我们将解析数论的工具应用到研究丢番图逼近问题及Möbius正交性问题中，也得到了相应的结果。本项目探索了解析工具在解决代数几何问题中的作用，所发展的方法将在后续研究中有更多的应用。