有理曲面上的一维半稳定层模空间

Moduli spaces theory is always a popular topic in algebraic geometry. Recently, because of the partially proven conjecture of GW-DT-PT correspondence theory, and also the extension of strange duality conjecture to surfaces, moduli spaces of 1-dimensional semistable sheaves on surfaces become more and more worth studying. This project aims to study moduli spaces of 1-dimensional semistable sheaves on rational surfaces, mostly to study the geometric structure of the moduli spaces and as well the determinant line bundles on them, for instance, to compute the Euler numbers, Betti numbers and Hodge numbers of the moduli spaces, and to compute the dimensions of the global sections spaces or the holomorphic Euler characteristics of the determinant line bundles. We have got some results for particular cases. We expect to improve the technics, based on our experience in working on this subjet, and gain results more general.

模空间理论在代数几何领域中一直经久不衰。近年来，由于GW-DT-PT对应理论猜想的建立以及部分解决，再加上奇特对偶猜想向曲面的扩展，曲面上一维半稳定层的模空间越来越具有研究意义。 本项目旨在研究学习有理曲面上的一维半稳定层模空间，侧重于研究模空间的自身几何结构以及其上的行列式线丛，例如：计算模空间的欧拉数、贝蒂数以及霍奇数，计算行列式线丛的截面空间维数以及全纯欧拉特征。之前我们已经获得一些个例的结果。我们期望在已有的工作经验的基础上改进技巧，取得更一般性的结果。

由于新兴热门的 Pandharipande-Thomas 不变量理论，加上奇特对偶猜想向曲面的拓展，曲面上一维半稳定层模空间吸引了越来越多数学学者的注意。本项目顺势而立，旨在对有理曲面上的这类模空间进行深入研究，侧重于计算它们的拓扑量，以及验证它们和无挠层模空间之间奇特对偶猜想的正确性。.经过三年的钻研，我们取得了可喜的结果。我们算出大量这类模空间的贝蒂数，并证明这些贝蒂数并不依赖该模空间所参数化的层的欧拉特征。这给出了有理曲面情形下，关于一维层模空间拓扑量的迄今为止最好的结果；尽管对于K3和阿贝尔曲面，早就有更为一般且完善的结论。此外对于较特殊的几个情形，我们甚至能明确将模空间的胞腔分解写出来。我们大胆猜想，如果有理曲面本身具有胞腔分解，其上的光滑的此类模空间也都具有。这个猜想未能在本项目结题时获证，将留给今后的学习。.在奇特对偶猜想方面，我们也完成了重要突破。我们证明了在射影平面或是有理直纹面上，如果令模空间参数化第一陈类为丰富线丛欧拉特征为0的一维半稳定层，并同时选取另一个模空间参数化秩为2第一陈类为0第二陈类也为2的半稳定无挠层，则奇特对偶猜想成立。这也是至今该猜想在有理曲面上所获得的最具一般性的结果，是该领域一个重大突破。虽然在此领域还有更多的问题在前方等待，我们取得的阶段性结果已然超出了我们在立项时的预期。.在项目执行阶段，我们共完成论文6篇，其中2篇已发表在SCI收入的国际杂志上，1篇已被国际SCI接收，另外3篇尚在审理。我们还有1篇文章正在撰写中，预计将在2017年3月左右完成。