非经典正则化方法在未知源识别问题中的理论及应用

The problem of unknown source identification has important practical applications in the field of environmental protection, but the classical regularization methods, represented as Tikhonov method, have some limitations in dealing with such problems. This subject is devoted to applying nonclassical regularization methods to investigate two kinds of complicated practical inverse source problems. Firstly, we will adopt the variational method together with conjugate gradient method to identify an unknown source depending on both space and time variables. Secondly, we propose the predictor-corrector method together with method of fundamental solutions and truncation method to identify an unknown source just from part of the boundary data. This subject does not only focus on the theory of nonclassical regularization methods, but emphasizes solving practical problems by efficient algorithm to meet the combination of theory and practice.

未知源识别问题在污染源鉴定和控制等环保领域具有重要的实际应用价值，但以Tikhonov方法为代表的经典正则化方法在处理该类问题时具有较大的局限性。本项目利用非经典正则化方法对两类相当困难且具有重要物理背景的未知源识别问题展开研究，一是充分发挥变分结合共轭梯度方法的优势，对同时依赖于空间和时间变量的未知源识别问题进行研究；二是开创性的利用预测校正结合基本解方法以及截断正则化方法对不完全边界的未知源识别问题进行研究。该项目不仅侧重于非经典正则化方法理论的研究，而且注重利用高效算法解决实际问题，从而达到理论和实践的高度融合。

未知源识别问题在污染源鉴定和控制等环保领域具有重要的应用背景。对于具有多个独立自变量的未知源识别问题和不完全边界的未知源识别问题，由于很难给出解的解析表达式以及问题的非线性性，导致该问题具有相当的难度，迄今为止，相关的理论结果非常少。在这样的研究背景下，本项目采用变分结合共轭梯度方法重构了含有多个独立自变量的一般源项，利用预测校正结合基本解方法仅通过部分边界测量数据稳定地重构了未知源函数，数值计算结果也验证了方法的有效性。另外由于课题的延伸，我们还研究了径向对称的反向热传导问题以及具有非齐次Neumann数据的Helmholtz方程Cauchy问题。不仅得到逼近解和精确解之间的精确误差估计，还对理论结果进行了数值模拟。一些结果已被SCI期刊接受。