启发式正则化参数选取方法在反问题中的理论及应用

正则化方法是反问题领域最基本、最常用的反演手段之一，其中正则化参数的选取直接影响到正则化方法的反演精度。一般来说，正则化参数选取方法按照是否依赖于观测误差分为误差相关参数选取法和启发式参数选取法，后者因为不需了解观测误差的先验讯息，譬如能量级，而广为使用。但是该类方法收敛性及快速实现技术的研究相对较少，使得其在理论分析和实际问题应用上存在一定的漏洞和欠缺。. 本项目将围绕多个启发式正则化参数选取方法，结合广义正则化方法、广义源条件、模型函数等关键技术，深入研究启发式正则化参数选取方法的收敛性、收敛阶、数值实现及算法加速等关键科学问题，以期解决一些现有的理论难题，并开拓启发式正则化参数选取方法在实际问题中的应用，从而拓展反问题新的研究领域。

项目成果简介：.1. 已发表标示项目资助SCI论文10篇（包括4篇Inverse Problems、2篇Numerische Mathematik、1篇Mathematics of Computations 及1篇International Journal of Heat and Mass Transfer），已撰写标示项目资助英文专著一本。.2. 项目期间所获成果被德国数学文摘zbMATH数据库评论为“L-曲线方法的首个误差估计”。2010年国际数学家大会45分钟报告人称先于他们“得到了相同的成果”；反问题领域最好的专业杂志Inverse Problems主编引用了项目成果，并称本项目所提出的方法能改进反演精度。.3. 项目负责人2011年9月至2012年8月任德国洪堡学者；2012年8月，获中国工业与应用数学学会优秀青年学者奖；2013年7月受邀参加国际应用反问题大会（反问题领域最大国际会议）并作一小时主旨报告。.4. 项目期间辅助培养博士研究生（项目成员）两名，其中一人获得中国计算数学学会2013年优秀青年论文竞赛二等奖及2014年上海市优秀毕业生等。..具体研究内容方面，本项目主要开展了启发式正则化参数选取准则收敛性及快速算法的研究，研究对象为两类常用的启发式正则化方法参数选取准则：L-曲线方法及Hanke-Raus方法。特别地，L-曲线方法是一类重要的启发式正则化参数选取法，因为其不需要噪音的讯息，在实际问题中的应用非常广泛。但是这类方法在数学上的收敛性分析一直是比较困难的，在反问题领域几十年来一直悬而未决。著名数学家、丹麦科技大学的Hansen教授和德国美因茨大学的Hanke教授在1993年的一篇综述文章中指出“L-曲线方法仍然缺少一个严格的数学证明”。作为最主要的成果，本项目证明了对于等同于L-曲线方法的一类泛函形式最小值的收敛性、收敛阶结果，从而可以推出原有L-曲线方法的收敛性、收敛阶，这个成果也是该方法的首个误差估计。德国数学文摘zbMATH数据库评论我们的成果为“L-曲线方法的首个误差估计”。参考网址：www.zbmath.org/?q=an:06190127.本项目还在多参数正则化方法、工业传热辐射系数反演等关键科学问题取得了较突出的成果。