空间域反常扩散中源项识别问题的正则化理论及算法

In this project, we consider the regularization theory and numerical algorithms of source identification in spatial domain anomalous diffusion. The space fractional advection-diffusion equation (SFADE) containing fractional Laplacian has been used as a mathematical model and describes the anomalous diffusion of solute in spatial domain. The experiments demonstrate that SFADE can describe the 'super dispersion' and 'tailing' phenomenon of anomalous diffusion more successfully than classical advection-diffusion equation (ADE). Especially in the application to groundwater pollution has gained wide attention. The source identification in spatial domain anomalous diffusion is highly ill-posed. Moreover, the fractional Laplacian possesses nonlocality and high singularity. These factors lead to difficulty and challenge. But notice that the Fourier analysis theory of fractional Laplacian is relatively complete. So, first, we apply the relevant method of Fourier analysis to obtain conditional stability. Second, we use convolution regularization method and Morozov discrepancy principle to deduce a posteriori error estimate. Finally, we construct fast algorithm based on fast Fourier transform (FFT) . By using above fast algorithm, we can identify the pollution source timely and supply scientific evidence for monitoring, diagnosing, protection of environment.

本项目主要考虑空间域反常扩散中源项识别问题的正则化理论和数值算法。我们以含有分数阶Laplace算子的空间分数阶对流扩散方程（SFADE）作为数学模型来描述溶质在空间域上的反常扩散。实验表明，它比起经典的对流扩散方程（ADE）能更好地刻画溶质反常扩散的"超弥散"和"拖尾"现象，特别是在地下水污染方面的应用引起广泛关注。空间域反常扩散中的源项识别问题具有很强的不适定性，再加上分数阶Laplace算子本身所固有的非局部性和高奇异性，使得问题极具困难性和挑战性。但注意到分数阶Laplace算子的Fourier分析理论较为完善，所以我们首先利用Fourier分析的相关工具建立条件稳定性。其次运用卷积正则化方法和Morozov不一致原理导出后验误差估计。最后，我们构造基于快速Fourier变换（FFT）的快速算法，实现对污染源及时快捷的反演，为环境的监测、诊断和保护提供科学的依据。

扩散是一种常见的物理现象，它广泛地出现在物理、化学、生物、工程、农学、水文、地质、医学以及环境科学等领域。经典的扩散现象服从Fick律，可以用标准的扩散方程很好地描述。然而，当扩散物质呈现出随空间的长程相关性和随时间的历史记忆性时，标准的Fick律已经不再适用，这时的扩散现象称为非正常扩散，服从所谓的分数阶Fick 律，这样将导出分数阶扩散方程。本项目主要研究空间域反常扩散中源项识别问题以及相关反问题（如Backward问题、Cauchy问题等）的正则化理论和算法。由于反问题的不适定性以及分数阶导算子所引起的非局部性和奇异性，项目组主要从以下两方面来构造适当的正则化算法克服这些困难：一方面，基于带卷积微分方程近似的直接正则化；另一方面，基于带卷积罚项的变分正则化方法。通过数值模拟发现上述正则化方法给出的正则化解确实能很好地近似反演目标，而这些反演目标通常是污染源的强度和位置、污染物的初始浓度和不可达区域的浓度，这样就为环境的监测、诊断和保护提供了科学的依据。