因子与C*-张量范畴

In the theory of operator algebras, tensor categories arise naturally in the study of subfactor theory and the algebraic quantum field theory. While the details of the two theories differ, the structure information is in both case encoded by the same abstract structure—C*-tensor category. Therefore, understanding the tensor categories emerged in the theory of operator algebras is important to the development of the theory. Since tensor categories have numerous applications in quantum physics (quantum field theory, quantum computation, etc.), representation theory and topology, the study of tensor categories arised in theory of operator algebras may also has potential application in a wide range of fields. ..In the proposed research, we focus on the several problems related to the categories of bimodules of factors. More specifically, we will first study the realization problem of 2-categoies, then we will determine the categories of bimodules with finite Jones index of concrete factors. In the end, we will check if the bimodule categories can be preserved under small perturbations of factors.

在算子代数理论中, 张量范畴非常自然地在子因子理论和代数量子场论中出现。虽然这两个理论的具体细节不同，他们的结构信息都包含在C*-张量范畴中。因此认识和理解算子代数中出现的张量范畴对发展算子代数理论非常重要。由于张量范畴在量子物理(量子场论，量子计算等)、表示论和拓扑中有大量的应用，研究从算子代数中出现的张量范畴在诸多领域中都有广泛的潜在应用。. 在本项目中，我们主要研究与子因子双模范畴相关的几个问题。首先，我们计划研究2-范畴的实现问题；其次，我们计划研究具体因子的有限Jones指标双模范畴；最后，我们计划研究双模范畴在因子的小的摄动下面是否保持的问题。

首先，我们定义含点的Drinfeld中心函子，并证明了此类函子为下述对称张量范畴间的对称的范畴等价：由可分解多重融合范畴及其中的单可分代数组的二元对构成的对称张量范畴；由非退化辫融合范畴及其中的Lagrangian代数组成的二元对构成的对称张量范畴。该结果为1+1D有理共形场论中的边-体关系的提供了准确的数学描述。. 其次，我们推广了经典的Wigner定理。Wigner定理是量子力学中的奠基性结果，该定理表明量子系统中的对称性可通过酉元或者反酉元来描述。，得到了如下结果。我们证明了无限维希尔伯特空间上全体投影构成的格上的-满等距都可由酉算子或反酉算子给出。同时证明了无限半有限因子中由无穷投影构成的集合上保持迁移概率的满射均由*-同构或者反*-同构给出。. 第三，我们研究了算子代数的结构和逼近性质，如：T性质、Haagerup性质。研究了离散群在含单位C*-代数上作用的T性质，推广了群的T性质的相关结论。定义了Hilbert-A-模的T性质，并证明了群作用有T性质当且仅当约化交叉积有Hilbert-A-模的T性质。 定义了一般C*-代数的Haagerup性质，并证明了Haagerup性质在一些经典C*-代数结构下的保持性质。证明了C*-代数的MF子代数和quasidiagonal C*-子代数构成的集合都是既开又闭的。我们还将Voiculescu的Berger-Shaw定理推广到作用在可分无限维希尔伯特空间上的真无限的半有限冯.诺依曼代数上。证明了有限von Neumann代数及可分的无限因子都是clean的。该结果在很大程度上回答了Lam的问题。. 最后，我们对可观测量代数进行了研究。我们从Hopf旋模型出发，研究了场代数的具体结构，证明了可观测量代数恰好是场代数在双代数作用下的不动点代数。证明可观测量代数和双代数之间存在对偶。