张量范畴的模范畴

As a categorization of the module over a ring, the module category over a finite tensor category has been very attractive for many domestic and foreign scholars, since it has been widely applied in many branches of mathematics and mathematical physics. The main purpose of this proposal is to investigate the module categories over finite tensor categories. We will first introduce a new class of module categories through the exactness of the Hom functor, and these new categories will be studied and classified by considering indecomposable exact module categories. Next, the above results of classifications will be applied to representation categories of finite dimensional Hopf algebras. We will discuss the specific realization of these new categories by the theory of finite dimensional Hopf algebras. Finally, we will use exact module categories to deeply study some special Hopf algebras such as (super) group algebras, affine group schemes, SLq(2), Taft algebras and almost triangular Hopf algebras. In particular, we will prove a structure theorem and classify almost triangular Hopf algebras.

张量范畴的模范畴是环模的范畴化，因其在很多数学分支和数学物理等科学领域的广泛应用，近年来受到很多国内外学者的关注。本项目围绕有限张量范畴的模范畴展开研究：首先，运用张量范畴上的Hom函子保持正合性给出一种新的正合模范畴的定义，进而研究所定义的新正合模范畴的各种性质和分类；其次，将上述范畴分类的结果应用到Hopf代数的表示范畴中，讨论它们在有限Hopf代数理论中的具体表现形式；最后，应用正合模范畴的相关理论到一些具体Hopf代数上，例如：(超)群代数、仿射群概型、SLq(2)、Taft代数，几乎三角Hopf代数等，利用模范畴理论研究这些Hopf代数的性质，特别是几乎三角Hopf代数的结构定理和分类问题。

本项目为基础数学研究，研究内容丰富了Hopf代数理论体系，有一定的理论意义。本项目首先给出了正合张量范畴的定义，并且验证了常见的一些范畴的正合条件，例如Hopf代数的表示范畴，群代数上的Yetter-Drinfeld模范畴，特别是广义的二面体群和Dicylic群等。找到了这两类群上的所有3-cocycle，并深入研究了其上的不可约Yetter-Drinfeld模。其次，对弱乘子Hopf代数展开了研究，给出了弱乘子Hopf代数的定义，研究了一些性质，统一了乘子Hopf代数和弱Hopf代数的概念。进一步给出了弱张量型Hom-双代数的概念和其相应的非平凡例子。定义了弱张量型Hom-双代数上的弱Yetter-Drinfeld 模, 并证明由这类模所构成的范畴与弱张量型缠绕Hom-模范畴作为范畴是相等的。研究了张量型Hom-双代数与Hom-双代数之间的关系。最后，对Y.Bazlov and A. Berenstein,给出的Hopf代数上的拟Yetter-Drinfeld模给出了具体的研究，证明了H-模上的拟Drinfeld中心等价于H上的拟Yetter-Drinfeld模，然后证明了H上的拟Yetter-Drinfeld范畴等价于广义的Hopf双模。最后证明了当H是拟三角Hopf代数的时候，H上的拟Yetter-Drinfeld模范畴等价于Majid辫子群上的拟余作用。