有限点张量范畴与拟Hopf代数

The present project is devoted to the study of finite pointed tensor categories, quasi-Hopf algebras and related topics. We mainly focus on the Nichols algebras in a twisted Yetter-Drinfeld category, finite-dimensional elementary quasi-Hopf algebras, finite pointed tensor categories and Green rings. The main ideal of our study is based on the theory of quantum groups, arithmetical root systems, representations of finite group and cohomology. The main aim of this project is to obtain a systematic method of construction and some interesting classification results of finite-dimensional elementary quasi-Hopf algebras. Based on the obtained classification results, we will use the tools in representation theory to study the structure and some important invariants of finite pointed tensor categroies in the framework of Tannaka-Krein duality.

本项目将致力于研究有限点张量范畴和拟Hopf代数及其相关理论，主要研究内容为twisted Yetter-Drinfeld 范畴中的Nichols代数，有限维初等拟Hopf代数,有限点张量范畴及Green环。我们的研究方法和关键手段包括量子群的系统理论，算术根系，有限群表示及上同调理论。本项目的主要目标是获得有限维初等拟Hopf代数的一般性构造方法和某些特定类型的较为完整的分类结果，然后在Tannaka-Krein对偶原理的框架下，利用有限维初等拟Hopf代数的分类结果和表示理论来研究有限点张量范畴的构造及某些重要不变量。

Hopf代数与张量范畴是非常重要的代数对象，与数论，代数几何，数学物理等科学分支密不可分，是当今数学领域的热门研究课题。在过去几十年里，一些重要类型的Hopf代数和张量范畴的分类在国际上引起了很大的关注，也取的了很多重要的进展。本课题旨在研究一类重要的张量范畴，即有限点张量范畴的分类与结构理论，而拟Hopf代数及Nichols代数是研究这类张量范畴的主要工具和技术手段。我们取得的结果主要为以下几个方面：（1）我们系统的发展了一套研究twisted Yetter-Drinfeld模上的对角型Nichols代数的方法，从而使得Weyl群胚与算术根系等理论可以应用这类Nichols代数的分类研究；（2）我们给出了交换群上的奇数维余根分次点余拟Hopf代数的分类；（3）在有限点张量范畴的Grothendieck群是奇数阶交换群的条件下，我们证明了Etingof等人对有限点张量范畴生成问题的猜想。我们取得的结果对Hopf代数与张量范畴领域将起到重要的推动作用，对数学物理，特别是量子物理和共性场论等有潜在的应用价值。