多线性单边分数次积分算子的加权有界性研究

The one-sided operators come from the study of ergodic theory. It has a close relationship with classical operators in the field of harmonic analysis. But it is also essentially different from them. This project will study the weighted boundedness of multi-linear one-sided fractional integral operators (MOFIO). First, the strict mathematical definition of the MOFIO is presented. And the condition of one-sided weighted inequality is studied. The depictions of one-sided one and two weighted functions are obtained. After that, the definition of maximal operator of MOFIO is presented. The weighted weak-type and strong-type inequalities of the maximal operator are constructed respectively. This gives the depiction of the maximal operator's weighted boundedness. The study of this project is the beneficial exploration for the one-sided operators theory. It plays an important role in enriching the harmonic analysis theory system. In addition,it is significant in promoting the development of ergodic theory and other related subjects.

单边算子来源于遍历理论的研究，它与调和分析中的经典算子既密切相关亦有本质区别。本项目拟针对多线性单边分数次积分算子的加权有界性问题展开研究。首先，提出多线性单边分数次积分算子的严格数学定义，研究这一算子的加(单边)权不等式成立的条件，以及单边单权和单边双权函数的刻画。然后，提出多线性单边分数次极大算子的定义，分别建立这一极大算子的加权弱型与强型不等式，得到该极大算子的加权有界性刻画。本项目的研究是对单边算子理论的有益探索，不仅对丰富调和分析理论体系具有重要作用，而且对推动遍历理论等相关学科的发展具有十分积极的意义。

随着调和分析理论体系的不断丰富和完善，对复杂单边算子性态的探索成为分析领域中近年来的一个研究热点。本项目以分数次单边Riemann-Liouville (R-L)积分算子为对象，研究了它在局部Morrey空间中的有界性、紧致性及其相关的应用问题。本项目的主要研究成果和创新点体现在以下几个方面：. (1) 局部Morrey空间是一个不可分的函数空间，研究算子在这一空间上的性态具有重要的理论意义。本项目首先通过利用Holder不等式等一些分析的技巧，研究了单边分数次R-L积分算子在局部Morrey空间中的有界性问题。然后，构造了局部Morrey空间的一个子空间，并研究了这两个空间的等距关系。在此基础上，通过利用强准紧集的一个判别准则，研究了分数次单边R-L积分算子在局部Morrey空间上的紧致性问题。. (2) 基于上述研究成果，通过构造一个截断的分数次Marchaud可微函数，给出了Abel方程解的特征刻画。在此基础上，通过利用不动点定理，研究了一类非线性微分方程解的存在和唯一性问题。. 本项目的研究是对单边算子理论的有益探索，对丰富调和分析理论体系，推动遍历理论等相关学科的发展具有积极的意义。