被扰动的非局部算子的热核估计

Two sided heat kernel estimate is an important study objective in the realm of partial differential equation. On the other hand, the transition density function of a Markov process is the fundamental solution of the parabolic heat equation associated with its infinitesimal generator.Therefore,the two sided heat kernel estimate plays an important role in the theory of both probability and PDE. It is known that the infinitesimal generator of a discontinuous Markov process is non-local operator. In this project, we shall focus ourselves on the following three non-local operators under perturbation in the Euclid space and open sets:(1)the truncated fractional Laplacian operator under gradient perturbation;(2)the truncated fractional Laplacian operator under lower order non-local perturbation;(3)Q-operator(see formula (1) below) under gradient perturbation.

双边热核估计是偏微分方程领域中的重要研究对象，而概率论中马氏过程的转移密度函数是其对应无穷小生成算子抛物型热方程的基本解（即“热核”）。因此，对于马氏过程热核估计的研究在概率论和偏微分方程领域中都具有非常重要的意义。熟知，轨道不连续马氏过程的无穷小生成元是非局部算子。本项目将研究下述三类被扰动的非局部算子在欧氏空间及其开集上的热核估计：(1)被梯度算子扰动的截断的分数阶Laplace算子；(2)被低阶非局部算子扰动的截断的分数阶Laplace算子；(3)被梯度算子扰动的Q算子（见正文(1)式）。

热核估计是偏微分方程和概率论领域中的重要研究对象，边界Harnack不等式是建立狄氏热核估计的重要工具。本项目主要研究了被扰动的非局部算子的热核估计以及对应过程在区域上的边界Harnack不等式，主要内容及结果包括：（1）建立了截断分数阶Laplace算子在梯度算子和非局部算子扰动下的热方程的基本解(即热核)，并且得到了基本解在欧氏空间上的上下界估计及其梯度估计；（2）建立了被梯度算子扰动的截断分数阶Laplace算子在Lipschitz区域上的边界Harnack不等式；（3）建立了被非局部算子扰动的二阶微分椭圆算子在一阶可微区域上的格林函数的上下界估计以及边界Harnack 不等式。