局部不规则图上的高斯热核估计和相遇问题

The heat kernel estimate for a graph is one of the hot topics of geometry, analysis and probability. Hebisch and Saloff-Coste (1993) first proved that a random walk on a group with polynomial volume growth satisfies Gaussian heat kernel estimates, and found that the two-side Gaussian bounds could be applied to solve many problems, such as the uniqueness of the harmonic function solution, isopermetric inequalities, escape rates of random walks. However, there are still many problems for the Gaussian bounds of an irregular graph. We only know few random graph which has Gaussian bounds, see Barlow (2004) and Sapozhnikov (2014). Recently, we proved that a locally irregular graph satisfies the partial two-side Gaussian bounds if and only if the graph satisfies the combined geometric conditions: partial volume doubling conditions and partial Poincaré inequalities. Therefore, in this project we will further explore the Gaussian heat kernel estimates of locally irregular graphs (including the weighted grids and the random geometric graphs induced by Poisson's points), and expect to apply Gaussian bounds to accurately characterize the random walk traces, such as the number of collisions of two random walks.

图上的热核估计是几何、分析和概率的热点问题之一。 Hebisch和Saloff-Coste(1993)最早证明体积多项式增长的群上的随机游动具有高斯热核，并发现可以应用高斯上下界解决调和函数解的唯一性、等周不等式、随机游动的逃离速率等众多问题。但是，不规则图上的高斯界目前尚有许多问题未阐明。我们仅知少数随机图具有高斯界，见Barlow(2004)和Sapozhnikov(2014)。最近，申请人证明了局部不规则图满足部分高斯上下界当且仅当图满足组合的几何条件：部分体积倍增条件和部分庞开莱不等式。因此，在本项目中申请人将进一步探讨局部不规则图（包括带奇点的加权网格和由泊松点诱导的随机几何图）上的高斯热核估计，并期望应用高斯界去精确刻画两个随机游动的相遇次数等随机游动的轨道性质。

在图上随机游动以及相遇问题的研究进展中，我们找到了一个重要的应用：Derrida-Retaux模型。该模型来源自于高分子聚合物, 从概率的角度看，它是一个时间倒立的分支随机游动，且其连续版本是一个粒子漂移、交互作用和湮灭的聚合方程。更重要的是，这个模型有一个著名的Derrida-Retaux 猜想: 系统的自由能出现与一般物理相变不同的现象，是Berezinskii–Kosterlitz–Thouless类型的相变。（其中Berezinskii和Kosterlitz 获得2016年诺贝尔物理学奖，获奖原因之一是找到该类型的相变）。 在项目的进展中，我们创新性地引入二叉树上的开路径的开分支个数——该开分支个数正是反映了多个粒子之间产生交互作用的次数。 基于开分支个数， 我们的给出Derrida-Retaux模型临界树的一个分支随机游动的刻画，给出一个适当弱版本的Derrida-Retaux猜想的证明，从理论上严格证明确实有BKT类型的相变，还给出了系统在临界状态下存活的概率。 我们的成果丰富了分支随机游动理论，对研究粒子系统相变具有重要的理论意义。 . 在研究图的热核与随机游动轨道的性质方面，我们从热核的复杂度的角度思考随机游动的常返性。我们证明了在一般可数群G（允许非Abel）上随机游动其各种渐近熵存在，并且证明了渐进值域熵为零的仅可能是：要么是随机游动常返，要么群G同构于加法群Z；还证明了随机游动常返当且仅当渐近轨道熵为零。 我们的成果是一个很基础的随机游动理论，且将对如何最少地编码记录粒子随机游走的空间轨迹具有指导作用。 此外，我们还研究袋中摸球的经典Ehrenfest模型，刻画了首次出现某种构型所需要的移动的平均时间是如何依赖于初始分布，该成果丰富了Markov链的一般理论。. 我们的主要成果发表在SCI期刊，其中有The Annals of Probability, Probability Theory and Related Fields, Journal of Physics A: Mathematical and Theorettical, Science China Mathematics, Statistics and Probability Letters.