分数阶拉普拉斯算子及其非局部扰动的位势理论

Discontinuous Markov processes and non-local operators have been under intense study recently, due to their importance both in theory and in applications. In this project, we will study the potential theory of fractional Laplacian under non-local perturbations. More specifically, the following three problems will be considered. First, we will consider the concavity of solutions of Dirichlet problem for fractional Laplacian in general convex domains. Very recently, T.Kulczycki has solved this problem for Cauchy process in two dimensions, and made a conjecture for higher dimensions. We plan to combine probabilistic method and PDE method to prove Kulczycki’s conjecture. Second, we will continue to consider the concavity of solutions of eigenfunction equation for other fractional Laplacians. Third, we will investigate the potential properties of fractional Laplacian under a special type of non-local perturbations. Since this type of operators corresponds to a class of non-symmetric discontinuous Markov processes, we will use probabilistic method to deal with it. Our research will enrich the potential theory of discontinuous Markov processes, and also provide more theoretical support and concrete examples for the research of non-local operators.

非连续马氏过程（非局部算子）的位势理论具有很强的应用背景和数学意义。本项目将对非局部算子，特别是分数阶拉普拉斯算子的位势理论展开研究，包括以下三方面内容：一、研究一般凸区域上分数阶拉普拉斯算子狄立克莱问题的解的凸性。波兰概率学者T.Kulczycki在2014年对该问题的一种特殊情形做了解答，并对其他情况作出了猜想。本项目拟采用概率论与微分方程相结合的手段，解决Kulczycki的猜想，填补这方面研究的空白；二、在内容一的基础上，继续研究凸区域上分数阶拉普拉斯算子特征值方程解的凸性问题；三、研究分数阶拉普拉斯算子的一类非局部扰动算子的位势性质。这类算子是一类非对称非连续马氏过程的无穷小生成元，因此本项目将从随机过程的角度出发，应用概率与分析相结合的手法对这类过程进行研究。本项目的研究将丰富非连续马氏过程的理论和研究方法，并为非局部算子在其他数学领域中的研究提供更多的理论支持和应用实例。

具有非连续轨道的马氏过程是概率论和随机过程理论的重要组成部分,而非连续马氏过程的无穷小生成元一般是非局部算子，因此对于非局部算子的位势理论具有很强的数学意义和应用背景。本项目对非局部算子的位势理论及其应用展开研究，主要研究内容和结果如下：研究了分数阶拉普拉斯算子的一类非局部扰动算子的位势性质。这类算子是一类非对称非连续马氏过程的无穷小生成元，因此本项目从随机过程的角度出发，应用概率与分析相结合的手法对这类过程进行研究，得到了这类算子在有界光滑区域上和无界区域上的热核的双边估计和对应的调和函数的双边估计等位势理论的基本结果；随后，本项目深入探讨了非局部算子理论在测度值分支过程和自相似马氏过程等非连续过程中的应用。在测度值马氏过程方面，本项目应用用非局部算子位势理论的结果，建立了底过程为一般Hunt过程的带奇异分支机制分支马氏过程和测度值马氏过程的强、弱大数定理；得到了一般非局部分支机制超过程的脊柱分解的完整表述，并以之为工具得到了超过程的灭绝性质和LlogL准则；得到了带有一般非局部分支机制的超过程的强弱大数定律；在自相似马氏过程方面，本项目利用非局部算子的研究手法，研究了自相似马氏过程和马氏可加过程的振荡理论，并将其应用于构造从原点出发的高维自相似马氏过程。本项目的研究丰富了非连续马氏过程的理论和研究方法，并为非局部算子在其他数学领域中的研究提供了更多的理论支持和应用实例。