平方和张量分解理论与应用

An important class of tensor decomposition is sum-of-squares(SOS) tensor decomposition. SOS tensor decomposition has a close connection.with SOS polynomials, and SOS polynomials are very important in polynomial theory and polynomial optimization. The main characteristic of SOS tensor decomposition is that it is a problem with high order and big dimension. So it can not be solved easily by the current numerical methods in the literature. In this project, it will be studied in the following aspects. Firstly, based on the theory of multi-linear algebra and the theory of nonlinear programming, we study structure properties of SOS tensor decomposition such as SOS rank and so on. A new equivalent form of the considered problem are presented as well as the related polynomial optimization problem. Then an efficient algorithm are proposed. Secondly, according to characteristics of SOS tensor decomposition with special structure, the considered problem is converted to a minimization problem with polynomial constraints as well as the relaxed one. Then, the relaxed problem is studied and its optimization theories and numerical algorithms are established. Moreover, the obtained theories are extended to general SOS tensor decomposition. Finally, the theories obtained above are applied to compute the extremal(both the maximum and minimum) eigenvalues of sum-of square tensors, and the copositivity test of symmetric tensors. Numerical algorithms for high order tensor computations will be designed and efficient practical soft programming will be established. In a word, the project can not only facilitate the theory of multi-linear algebra and the theory of nonlinear programming, but also has some practical applications.

平方和张量分解是张量分解的一种重要形式，它与平方和多项式密不可分，而平方和多项式在多项式理论及多项式优化中具有重要应用。这类问题的特点是阶数高，维数大，以至于无法套用现有的数值方法求解。本项目拟对该问题展开如下研究。首先，基于多线性代数理论及非线性规划理论，研究平方和张量分解的结构性质，如平方和张量的秩等。建立平方和张量分解问题的新的等价形式与相应的多项式优化问题，并提出有效的数值算法。其次，根据特殊结构平方和张量分解的特点，将问题转化为带多项式约束的一类极小化问题并进行松弛，建立松弛问题的优化理论，并提出有效算法，然后将所建理论推广到一般的平方和张量分解问题。最后，将上述所建理论应用到平方和张量极端特征值（包括最小，最大特征值）计算及对称张量协正性判定。设计适合于高阶张量计算的数值算法并编制有效的实用程序。该研究不仅能推动多线性代数与非线性规划的融合与交叉，而且具有实际应用价值。

平方和张量分解是张量分解的一种重要形式，它与平方和多项式密不可分，而平方和多项式在多项式理论及多项式优化中具有重要应用。对于给定的对称张量，研究其平方和张量分解的判定法则，构造数值方法实现是该类问题目前面临的最大挑战。国际上对于平方和张量分解理论、算法及应用的研究还处于起步阶段。在此背景下，本团队针对平方和张量分解性质、算法及其应用展开研究，取得了一些列重要成果。部分代表性成果如下：.1. 对称张量的极端特征值在非线性动力系统、核磁共振成像等实际问题中具有重要应用。如何有效计算张量的最大最小特征值是张量计算与多线性代数领域的一项重要研究课题。针对此类问题，我们定义了一类新的张量，叫做W-张量。这类新张量包含了非负张量等一大批结构张量做为子类。我们证明了任意偶数阶W-张量都可以平方和分解成有限个W-张量的和，因此，W-张量的极端特征值问题可以等价转化为目标函数为线性函数的半定规划问题。根据新的等价模型，我们提出了一类多项式优化算法，数值实验表明该算法可以有效计算10000维以上的张量的特征值。最后，该结果被应用到协正张量判定及材料物理等实际问题中。.2. 高协正张量在多项式优化、超图谱理论与量子物理等领域具有重要应用，因此，如何有效判断一个张量为协正张量是一项重要课题。本项目中，借助经典单纯形的顶点所构成的有限个秩1 张量，我们提出了一类高阶协正张量判定的数值方法。通过构建协正张量的一个子类，又对建立的算法进行了改进，并成功将改进算法应用到一致超图独立数的上界估计，与希格斯模型真空稳定性条件的检验等实际问题中。.3. 针对张量互补问题，基于不同结构的对称张量，给出了互补问题解的存在性定理，并给出了柯西张量互补问题的解集的新的结构性质。