有限元的各向异性后验误差估计及其应用

自适应有限元研究计算网格如何自动适应问题真解的性态，使之在同等收敛性前提下大大减少计算规模，而后验误差估计是自适应有限元的理论基础。后验误差估计与通常的先验误差估计不同，是一个可计算的量，能提供网格应如何局部加密或放疏的信息，使网格得到优化。但经典后验误差估计基于网格的正则性条件，即单元直径与含于其内的最大球直径的比一致有界，这一基础性条件限制了自适应方法的有效发挥，因为很多情况下，如二维沿一条线有奇性或三维沿一个面有奇性的问题，在奇性区域，网格只需沿一定方向加密，并不需要沿所有方向加密。正是基于这一点，本项目研究各向异性后验误差估计，研究后验误差估计如何放宽以至抛弃对网格正则性条件的依赖，使后验误差估计子能应用于各向异性网格，不仅能给出应在什么区域加密或放疏的信息，还能给出应沿什么方向加密或放疏的信息，以致最大限度地发挥自适应有限元方法的优越性。

后验误差估计中出现很多常数，这些常数一般是不知道的，这对后验误差尤其是各向异性后验误差的精细估计形成了障碍，我们给出著名的Wilson元的逼近误差和相容误差常数的显式估计；给出有限元逆不等式中常数的显式估计，这些估计与网格正则性条件无关，可以用于并改善各向异性后验误差估计。.我们将1维Lagrange插值的Newton表达方式推广到高维，以统一的方式给出2维（三角形和矩形）和3维（4面体和长方体）任意阶Lagrange元的各向异性插值误差估计。它可以用到有限元的各向异性后验误差估计。.我们基于边界平衡通量，利用拉式乘子，对线形三角形元构造了一个后验误差估计子，可以局部计算，且不需要求解局部Neumann问题，改进了前人的结果。.有限元的各向异性后验误差估计的一个重要方面是使得网格能更好的自适应解的性态。有人提出一种匹配函数，来检验网格对解的性态的适应性，但此种匹配函数是整体区域上的，且对非协调元效果不好，我们对此进行了改进，提出一种新的匹配函数，改进了已有的那种匹配函数，展示了各向异性后验误差估计新的途径。.单元构造方面：我们对线弹性混合问题构造一个矩形元，使原有一个单元的自由度由36+3简化为17+4。三维四阶椭圆问题非协调元的构造非常困难，我们另辟新径，利用泡函数使得此问题的单元构造变得简单，构造了1阶和2阶收敛的四面体元、长方体元、三棱柱元。Darcy-Stokes问题含有一个小参数，是奇异摄动问题，对小参数一致收敛的混合元很难构造，尤其是矩形元，已知的单元几乎没有，我们构造了一个对小参数一致收敛的矩形元。原始变量弹性问题当Lame常数趋于无穷时，一般的单元不收敛，这就是Locking现象。纯位移边界条件时，已有的3维单元不多，我们构造了一个一致收敛的4面体元和一个一致收敛的长方体元。纯应力边界条件时，由于要满足离散第二Korn不等式，单元构造更加困难，我们构造了一个三角形元，它满足离散第二Korn不等式，且具有二阶收敛速度。