混合有限元各向异性后验误差估计

In the scientific computation and engineering computation, many differential equqtions have the anisotropic characteristic, i.e., the exact solution varies slowly along a line or a certain subdivision, and it varies violently in other direction or subdivision at the same time.It is a better way to use adaptive finite element method to solve these problems. In adaptive finite element method, the meshes are refined in the singular direction or domain. Meanwhile, the meshes are still sparse in the nonsingular diecetion or domain. The meshes are refined or sparsed according to a posteriori error estimator. So a posteriori error estimation is the foundation of the adaptive finite element methods. Mixed finite element method is an important researching field in finite element methods. For example, the mixed finite element method of two order elliptec problem, Stokes problem, coupled Darcy-Stokes problem, and so on. However，traditional a posteriori error estimation is based on the regular condition of meshes. This conditon restrics the applocations of the adaptive method. This project studies a posteriori error estimation of the mixed finite element method on anisotropic meshes, such that a posteriori error estimator agrees with the exact solution and adaptive method can exploit the advantages better.

在实际科学和工程计算中很多微分方程在一些区域具有各向异性特征，即：真解在一些方向或区域变化不大，而在另外的方向或区域变化非常剧烈。用有限元方法求解此类问题时，较好的方法是采用自适应方法，在奇性的方向或区域增加网格点，同时保持非奇异方向或区域网格的稀疏性。自适应算法根据后验误差估计子来进行加密或放疏网格，从而提高计算效率，因此，后验误差估计是自适应方法的理论基础。混合有限元方法是有限元的一个重要研究领域，例如二阶椭圆问题的混合元、Stokes问题和耦合的Darcy-Stokes问题等。但是，目前关于混合有限元后验误差估计的研究大多是在网格满足正则性条件下给出的，这限制了自适应方法对奇性问题的有效应用。本项目致力于研究各向异性网格下混合有限元后验误差估计，使后验误差估计子更好地适应解的特点，以更有效地应用自适应有限元。

在实际科学和工程计算中很多微分方程在一些区域具有各向异性特征，即：真解在一些方向或区域变化不大，而在另外的方向或区域变化非常剧烈。用有限元方法求解此类问题时，较好的方法是采用自适应方法，在奇性的方向或区域增加网格点，同时保持非奇异方向或区域网格的稀疏性。自适应算法根据后验误差估计子来进行加密或放疏网格，从而提高计算效率，因此，后验误差估计是自适应方法的理论基础。混合有限元方法是有限元的一个重要研究领域，例如二阶椭圆问题的混合元、Stokes问题和耦合的Darcy-Stokes问题等。但是，目前关于混合有限元后验误差估计的研究大多是在网格满足正则性条件下给出的，这限制了自适应方法对奇性问题的有效应用。本项目致力于研究各向异性网格下混合有限元后验误差估计，使后验误差估计子更好地适应解的特点，以更有效地应用自适应有限元。目前我们得到了如下结果。得到了各向异性网格下非协调有限元的显式误差估计结果,四阶椭圆奇异摄动问题的一致收敛各向异性有限元误差估计，并构造了新的一致收敛的三维非协调单元，研究了各向异性双3次Hermite元的超收敛性和点态超收敛性，对于三维线弹性问题，构造了一个新的非协调四面体元，得到了一致收敛误差估计结果，分析了二阶椭圆问题的混合元后验误差估计结果。