完全可计算的各向异性后验误差估计

Traditional a posteriori error estimation relies on the regularity of the grid both on the theoretical analysis and in program implementation, namely local grid refining is isotropic, that restrict the application of finite element to a certain extent. Moreover, the solutions may be anisotropy in the boundary layer or certain areas for a lot of practical problems, at this time, the traditional finite element method will make the subdivision to be too fine, which brings great amount of calculation, in contrast, the anisotropy mesh has great advantages. In addition, due to the finite element posterior error estimation is bound from upper bound and lower bound by a posteriori error estimators, in generally, these bounds contain some unknown constants. The adaptive algorithm requires that error estimators provide the criterion to stop computing, if we know the value of the unknown constants arose in upper and lower bounds, or we can give a bound to those constants, then we can get fully computable a posteriori error estimation, which can not only give more specific instructions for the grid refining and coarsening, but also be better used to the adaptive finite element. Our work is to research the fully computable a posteriori error estimates on anisotropic meshes in this project, to study how to quantify the dependence on grid regularity condition of a posteriori error estimates, to research how to calculate the value of the unknown constants in the bounds or how to give a more accurate estimate for the unknown constants, so that, the fully computable a posteriori error estimates can be better applied to adaptive finite element method, so as to maximize the advantages of adaptive finite element method.

传统的后验误差估计无论是在理论分析上还是在程序实现上都依赖于网格的正则性条件，该条件在一定程度上限制了有限元的应用。而且，很多实际问题的解可能在边界层或某些区域处具有各向异性的特征，此时传统有限元方法将使剖分过于细密，计算量过大，而适当的各向异性网格则具有很大的优势。另外，由于有限元后验误差估计是用误差估计子从误差的上下两个方向界定，一般地，上下界中都含有未知常数。而自适应算法要求误差指示子为其提供终止计算的依据，如果知道出现在上、下界中未知常数的值或给未知常数一个具体的界，就得到完全可计算的后验误差。可为网格细化或粗化提供更具体的指导，更好地应用于自适应有限元的研究。本项目主要研究完全可计算的各向异性后验误差估计，研究如何量化后验误差估计对网格正则性条件的依赖，研究如何计算出现在上、下界中未知常数的值或如何给未知常数一个较为精确的估计,以致最大限度地发挥自适应有限元方法的优越性。

传统的后验误差估计依赖于网格的正则性条件，该条件在一定程度上限制了有限元的应用。而且很多实际问题的解可能在边界层或某些区域处具有各向异性的特征，此时适当的各向异性网格则具有很大的优势。另外，由于有限元后验误差估计是用误差估计子从误差的上下两个方向界定，一般地，上下界中都含有未知常数。而自适应算法要求误差指示子为其提供终止计算的依据，如果知道出现在上、下界中未知常数的值或给未知常数一个具体的界，就得到完全可计算的后验误差。可为网格细化或粗化提供更具体的指导，更好地应用于自适应有限元的研究。本项目主要研究完全可计算的各向异性后验误差估计，研究如何量化后验误差估计对网格正则性条件的依赖。我们首先讨论了线性函数的精确表示和插值余项的计算，通过对Taylor展式的主部部分进行简化，得到一个较为精确的显示误差估计结果。然后研究了Poincare不等式中常数的精细估计，在简单几何区域如三角形、矩形、四面体上得到显式的Poincare不等式。最后分析了二阶椭圆问题的完全可计算的各向异性后验误差估计。另外，研究了二阶椭圆混合有限元的稳定化格式及线弹性问题稳定化的混合有限元方法。同时对Stokes问题，构造了一个三棱柱Bernardi-Raugel单元，并研究了带阻尼的Navier–Stokes方程的混合元方法。