具有隐藏吸引子的多稳定超混沌系统研究

Hyperchaos has attracted the great interest of scholars from various fields and areas, and is applied enormously. Due to its complex dynamical behavior, the research on hyperchaotic system with multistability and its hidden attractors are almost nil. Based on the studies of hyperchaotic system with self-excited attractor, we will further study the multistable hyperchaotic system with hidden attractors, thereby research on the mechanism of hidden hyperchaotic attractors. First, proving the existence of hidden attractor in hyperchaotic system with no equilibria or with only one stable equilibrium, and estimating its location. Second, designing an appropriate scheme to effectively control the dynamic behavior of multistable hyperchaotic system. Third, proving the existence of singular degenerate heteroclinic cycle in hyperchaotic system with a curve of equilibria. Finally, based on the above researches of the multistable hyperchaotic system, we will further reveal the mechanism of hidden hyperchaotic attractor, thereby consummate the hyperchaotic theory system. Hyperchaos and multistability exist in nature widely, they have direct or indirect effects on people’s lives. Therefore, the research of multistable hyperchaotic systems bears both theoretical and practical significance.

超混沌有着广泛的应用前景，其应用研究目前已引起各领域学者们的普遍关注，但是关于具有多稳定性的超混沌系统及其隐藏吸引子方面的研究则几乎为空白。本项目致力于研究具有隐藏吸引子的多稳定超混沌系统，并藉此来探索隐藏超混沌吸引子的产生机理。首先，证明无平衡点及只有唯一稳定平衡点系统中隐藏吸引子的存在性，并对其位置进行估计；其次，设计适当的控制方法，对多稳定超混沌系统的动力学行为进行有效控制；第三，证明具有平衡点曲线的超混沌系统中奇异退化异宿轨的存在性；最后，在以上多稳定超混沌系统的研究基础之上，进一步探讨隐藏超混沌吸引子的产生机理，以期更加完善超混沌的理论体系。超混沌以及多稳定性现象普遍存在于自然界中，直接或间接地影响着人们的生活，因此对多稳定超混沌系统的研究，具有十分重要的理论及实际意义。

本项目主要研究了具有隐藏吸引子的四维Lorenz型多稳定超混沌系统的复杂动力学行为。针对几类具有有限个平衡点的系统，研究了Zero-Hopf及Zero-Zero-Hopf等局部分岔行为，一定程度上得到了平衡点附近产生多稳定现象的条件，揭示系统局部性质对其全局动力学的影响。针对一类具有平衡点曲线的超混沌系统，首先，基于平衡点的局部稳定性的分析，通过数值地方法证明了奇异退化异宿轨的存在性，并有无穷多奇异退化异宿轨共存于同一相空间中；其次，大量的吸引子共存现象揭示了具有奇异退化异宿轨的超混沌系统的多稳定性；最后，在全局动力学方面，通过Poincare紧致化方法，研究了该类超混沌系统在无穷远处的动力学行为。针对另一类具有平衡点曲线的超混沌系统，基于微分几何方法，即KCC理论，通过研究偏差曲率张量及其特征值，严格地证明了该超混沌系统的平衡点曲线在一定参数条件下是Jacobi不稳定的，同时数值地证明了该超混沌系统的一条周期解也是Jacobi不稳定的。