分数阶椭圆方程与哈密顿系统多解问题的研究

This project is devoted to the study of multiplicity of solutions of fractional elliptic equations and Hamiltonian systems by using variational and topological methods. Along with the development of several areas such as anomalous diffusion, non-Newtonian fluid mechanics, quantum mechanics, viscoelastic mechanics, soft matter physics, American options in finance, the people are paying more and more attention to fractional differential equations, and the study of fractional elliptic equations has been being a popular subject in the nonliear analysis area. On the other hand, as an important model, Hamiltonian systems has alaways been highly valued by many famous mathematicians, while the issue of singular Hamiltonian systems has gotten widespread attention and has been gotten many research achievements due to its special background. The research plan of this project includes the following subject areas: 1)Multiplicity of solutions of boundary value problems for fractional Laplacian equations in bounded domains; 2)Existence of ground states and multiplicity of bound states of fractional Schrodinger equations, specially the existence and multiplicity of sign-changing solutions; 3)Multiplicity of solutions of fixed energy problems of singular Hamiltonian systems; 4)Existence and multiplicity of sulutions of singular Hamilonian systems with damping term.

本项目致力于应用变分与拓扑方法研究分数阶椭圆方程和哈密顿系统的多解问题。随着在反常扩散、非牛顿流体力学、量子力学 、粘弹性力学、软物质物理力学、美式期权等领域研究的需要，对分数阶微分方程的研究越来越得到人们的广泛关注，而对分数阶椭圆方程的研究正成为当前非线性分析领域的一个研究热点。哈密顿系统作为一类重要的数学模型一直受到人们的高度重视，其中奇异哈密顿系统由于其特殊而重要的背景，更是受到众多著名数学家的关注和深入研究。 本项目主要研究：1）有界区域上分数阶拉普拉斯方程边值问题解的多重性；2）分数阶薛定谔方程的基态解的存在性以及束缚态解的多重性,进一步研究其变号解的存在性与多重性；3）奇异哈密顿系统的固定能量问题解的多重性；4）带有阻尼项的奇异哈密顿系统解的存在性与多重性。

本项目主要围绕分数阶椭圆型方程和哈密顿系统的解的存在性与多重性以及相关问题开展研究。主要研究成果有：1）在非线性项只满足次临界增长和山路几何条件下得到了分数阶Schrodinger方程的基态解的存在性，该结果目前已经被意大利知名学者Pucci等人多次引用；2）分数阶p-Laplace 算子是拟线性的奇异积分算子，并且不能用延拓法进行局部化。我们得到了分数阶p-Laplace 方程变号解的存在性与多重性及其最小能量变号解的存在性；3）引入了旋转周期解的概念，该旋转周期解具有正交对称结构，包含周期解、次调和解和拟周期解。我们分别对强制梯度非线性项和Hartmann 型非线性项研究了二阶常微分方程组的旋转周期解的存在性。对带奇异性的系统，我们还分别在强奇异力和弱奇异排斥力情形研究了带耗散项与不带耗散项的二阶常微分方程组的旋转周期解的存在性。特别地，对一些已知具有周期解的奇异系统得到了高维非碰撞次调和解与拟周期解的存在性；4）结合变分法、Maslov 型指标理论和Morse 指标理论对N-体问题中一类特殊轨道Criss-Cross轨道研究了其线性稳定性。此外，还研究了一类带Bessel算子的分数阶Schrodinger 方程解的多重性和最小能量变号解的存在性，以及分数阶Hamilton 型椭圆方程组解的存在性与多重性。