哈密顿系统与椭圆方程多解问题的研究

In this project, we mainly investigate the multiplicity of homoclinic solutions for several classes of second order non-atuonamous Hamiltonian systems and multiple solution problems for several classes of semilinear elliptic equations. Our main tools include variation of calculus, critical point theory, Morse theory, index theory, spectral theory of operators and classical theory of ODE and PDE. These issues that we focus on are very important in not only the research of Hamiltonian systems and nonlinear elliptic equations but also the mathematical field such as nonlinear analysis, dynamical systems, symplectic geometry, PDE and so on.

在本项目中，我们将主要对几类二阶非自治哈密顿系统同宿解的多重性以及几类全空间上半线性椭圆方程多解问题展开研究。研究工具主要包括变分方法及临界点理论，Morse理论，指标理论，算子的谱理论，以及经典的常微分方程与偏微分方程的理论。项目中研究的这几类问题不仅是哈密顿系统和非线性椭圆方程研究中的重要问题，而且在非线性分析、动力系统、辛几何、偏微分方程等数学领域也具有重要的意义。

在本项目中，一方面，我们对一阶和二阶非自治哈密顿系统同宿解存在性及多重性的问题展开了研究。运用变分方法，Morse理论以及经典的常微分方程理论等，我们在哈密顿函数或位势函数满足较宽泛条件的假设下，获得了关于这两类哈密顿系统同宿解存在性及多重性的一些结果。另一方面，我们也对一类半线性椭圆系统解的多重性问题进行了研究。运用变法方法，临界点理论以及经典的偏微分方程理论等，我们在位势和非线性项满足较一般条件假设下，得到了这类椭圆系统无穷多解的存在性结果。以上这些成果都在一定程度上推广和改进了已有文献中的相关研究结果。