Hardy-Littlewood-Sobolev不等式与非局部椭圆方程

This proposal is devoted to the studies of Hardy-Littlewood-Sobolev inequality and its related problems, nonlocal nonlinear elliptic equations and its related problems. More precisely, we mainly focus on the following several classes of problems. 1, The attainability problems for the best constants of weighted Hardy-Littlewood-Sobolev inequality on the whole space and half space, the symmetry problems for the extremel functions. 2, The nonexistence results of positive solutions or finite Morse index solutions for Choquard equations on the whole space and half space. 3, The symmetry properties of positive solutions or finite Morse index solutions for Choquard equations. 4, The studies of nonlocal elliptic equations in relativity. 5, The studies of singular perturbed Choquard equations. We use the moving plane method on cylindrical surface to prove the nonexistence result, the energy estimates and Morse index estimates methods to prove the symmetry break phenomenon. We prove the solutions are radial or foliated-Schwartz symmetric by using the moving plane method, rearrangement inequality and rotating plane method. We use the theory of integral equations and extension method to study the nonlocal equations in relativity theory. Finally, we use the variational methods to study the concentration phenomenon of the solutions. In particular, it is the first time that nonlocal boundary value condition is proposed.

本项目主要研究Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的相关问题与非局部椭圆方程的相关问题。具体来说，我们研究下面几类问题：1、全空间和半空间上带权的HLS不等式的最佳常数的可达性问题，达到函数的对称性与非对称性问题。2、全空间和半空间上的Choquard型方程正解与Morse指数有限解的非存在性结果。3、Choquard型方程正解与Morse指数有限解的对称性与非对称性结果。4、相对论中的非局部椭圆方程。5、奇异摄动Choquard型方程解的集中现象。我们用柱面上的移动平面法来研究非存在性结果，用能量估计、Morse指数估计方法来研究解的非对称性结果，用移动平面法、重排不等式和旋转平面法来研究解的径向对称性、foliated-Schwartz对称性，用积分方程理论和延拓方法来研究相对论中的非局部问题，用变分法来研究解的集中现象。其中非局部边值条件是本项目第一次提出。

椭圆方程能够描述微观世界的各种现象，研究椭圆方程解的性质有助于我们更深刻地认识客观世界，发现客观世界的运动规律，从而让世界更好地服务于人类。本项目主要研究椭圆方程解的存在性结果、解的正则性结果、解的唯一性结果等问题。在本项目的支持下，我和杨健夫教授围绕非局部椭圆方程进行研究，分别得到了一些很有意义的结果。部分代表性工作如下：1、我和智利的谭经刚教授合作，研究了一类Grushin流形上的非局部方程解的非存在性结果。对于非局部方程，很多计算非常麻烦，比如最常用的分部积分公式对于非局部算子都不成立。为了克服非局部性带来的困难，全世界著名的偏微分方程专家Caffarelli等人引入了延拓方法，将原来的非局部方程延拓到高一维空间，从而将非局部方程化为了局部方程。但是Caffarelli研究的是欧式空间的情况，我和谭经刚教授把延拓性方法推广到了Grushin流形，我们发现流形上延拓后的问题和欧式空间上延拓后的问题形式上存在很大的不同，但只要对移动平面法作适当的改进，同样可以用来证明Grushin流形上的方程正解的非存在性结果。该结果发表在微分方程的著名期刊Journal of Differential Equations上。2、杨健夫教授和龙薇教授、严树森教授合作，研究了带小孔的区域上，临界分数阶拉普拉斯方程解的存在性结果和解的渐进行为。首先，他们利用Lyapunov约化方法，构造了方程的多峰解。紧接着，他们研究了当区域的小孔的直径趋于0的时候，方程解的形状，他们的结果表明，方程的解慢慢趋于一个类似于火山的形状的函数。该结果也发表在微分方程领域的著名期刊Journal of Differential Equations上。项目组成员陶强副教授研究了二维空间上的磁流体方程解的性质。该结果发表在控制领域的著名期刊SIAM Journal on Control and Optimization上。除了以上代表性工作以外，项目组成员在其它领域也取得了一些有意义的研究成果，一共发表论文18篇，培养了10多名硕士研究生。基本上和申请书中提出的目标相符合。