分数维拉普拉斯方程中的若干问题

关于分数维拉普拉斯方程，目前已经有了大量的研究。由于分数维拉普拉斯算子是非局部算子，因此研究的方法也与拉普拉斯方程的研究方法不一样。研究全空间上的这类问题的通常做法是将方程化为积分方程，而有界区域上的研究方法是把方程延拓到高一维空间。本文拟研究的问题是：1、分数维拉普拉斯方程的刘维尔型定理以及具有Hardy-Sobolev项的刘维尔型定理。2、分数维拉普拉斯方程的Hardy-Sobolev常数的达到函数与正解的唯一性（在相差一个伸缩变换的意义下）。3、有界区域上的临界分数维拉普拉斯方程的正解的存在性。4、有界区域上临界分数维拉普拉斯方程高能量解的存在性。5、临界分数维拉普拉斯方程无穷多个解的存在性。6、临界分数维拉普拉斯方程无穷多个变号解的存在性。我们希望通过对这些问题的研究，更准确地掌握分数维拉普拉斯方程的性质。

本项目成员经过三年努力，主要解决了一下几类问题。1、证明了分数次拉普拉斯方程正解的非存在性问题，也就是刘维尔型定理。2、研究了具有变号权的分数次拉普拉斯方程解的存在性与非存在性问题。3、研究了Heisenberg群上的次椭圆方程正解的非存在性问题。4、证明了一些具有非线性边值条件的椭圆方程以及混合边值条件的椭圆方程正解的非存在性定理。5、研究了几类椭圆方程莫尔斯指数有限解的非存在性问题。6、证明了几类临界椭圆方程解的存在性结果。此外在完全非线性方程解的刘维尔型定理方面以及解的衰减性估计方面还有一些研究成果。截止目前，已经在国际期刊上发表论文 12 篇，另外还有3篇正在审稿中。我们基本上按原计划实现了项目的目标并有所拓展， 为下一步工作打下了基础。