p-Grushin算子及其方程的研究

This project is devoted to study the p-Grushin operator and its related partial differential equations. This operator is different from other operators, in particular, it is a quasi-linear operator on anisotropic manifolds. We mainly focus on the following five classes of problems. 1, The definition, fundamental solution and comparative principles for p-Grushin operators. 2, The Sobolev inequality, hardy inequality and Hardy-Sobolev inequality for p-Grushin operator. We are interested in the best constants of these inequalities, the attainability of the best constants, the symmetry properties and decay properties of the extremal functions. 3, The existence results, nonexistence results, bifurcation phenomena and multiple solutions for sub-critical and critical p-Grushin operator. 4, The proof of infinitely many solutions for critical p-Grushin equations on bounded domains. 5, The nonexistence results of positive solutions for sub-critical p-Grushin equation on whole space. According to the research of this proposal, we can understand the impact of anisotropic space on the properties of solutions.. Professor Shuangjie Peng and Xiaohui Yu apply this program together. I will visit professor Peng at CCNU during the period of this project. We will solve these problems together.

本项目主要研究一类各向异性空间上的拟线性算子及其对应的方程，即p-Grushin算子及其方程的研究。我们主要研究下面几类问题：1、p-Grushin算子的定义、基本解与比较定理。2、p-Grushin算子的Sobolev不等式、Hardy不等式以及Hardy-Sobolev不等式及其相关问题。如最佳常数的可达性、达到函数的对称性、衰减性以及达到函数的表达式等问题。3、临界与次临界p-Grushin方程解的存在性、非存在性、解的分歧现象与多解等理论。4、有界区域上临界p-Grushin方程无穷多个解的证明。5、全空间上次临界p-Grushin方程正解的非存在性结果。我们希望通过本项目的研究，进一步刻画空间的各向异性对方程解的性质的影响。. 本项目为访问项目，与华中师范大学彭双阶教授联合申请，我将在访问期间与彭教授共同探讨如何解决上述几类问题。

在本项目获得资助后，学校按照申请时的约定，整个2018年度没有安排教学任务。我利用本项目的资金支持，在华中师范大学从事为期一年的学术访问。访问期间，我在彭双阶教授的指导下，就当初申请书中提出的问题进行讨论研究，并根据研究过程中所面临的难点，对当初提出的问题进行了及时修正，目前已经取得了阶段性的成果，主要体现在以下几个方面。1、解决了两类具有混合边值条件的非线性椭圆方程解的非存在性结果。2、解决了有界区域上，具有非线性边值条件的椭圆方程解的存在性结果。3、对量子力学中的Hartree方程与Hartree-Fock方程进行了研究，并在适当的条件下证明了正解的非存在性结果。4、用微分方程的变分方法，解决了一类积分方程解的存在性的结果。截止目前，已经在国际期刊上发表论文1篇，另外一篇已经接收，第三篇正在审稿中，第四篇已经完成，目前正在作最后的修改工作。总的来说，我们基本上按原计划实现了项目的目标并有所拓展， 为下一步工作打下了基础。