非线性可积系统的几何结构与奇性分析

Nonlinear integrable systems arise widely from physics, water wave, biology, optic communication and applied sciences etc, and possess a number of nice properties. They are closely related to invariant geometric flows and submanifold geometries. In this project, we first study geometric structures of integrable systems with nonlinear dispersion in a systematic manner. Our focus will be the relationship between the integrable sytems and invariant curve flows or submanifold structures in certain geometries. It is of great interest to explore the geometric formulations of integrability such as bi-Hamiltonian structure, Bäcklund transformation and symmetries. Secondly, we study various structures of singularities for continuous integrable systems with nonlinear dispersion. In particular, we pay more attention to the formation mechanism and classification of singularities to those integrable systems. We will be interested in the singularity phenomena which is different from the case for Camassa-Holm equation. Furthermore, we investigate the effect for singularity formation arising from the interaction among nonlinear terms and nonlinear dispersions. The relationship between the singularities of those integrable systems and their corresponding invariant geometric flows is also explored. Since those systems usually admit non-smooth solitary wave solutions, it is of interest to investigate new singularities arising from instability of non-smooth solitary wave solutions, and study the relationship between the instability of non-smooth solitary wave solutions and singularity of some kind of solutions. Finally, we will study the structures of elliptic function solutons, geometric structures and singularities of discrete integrable systems. In addition, we shall investigate the relationship between discrete integrable systems and discrete geometric flows or submanifold geometries. Research on this project enables us to comprehend the geometric structures, characteristics, classification and formation mechanism of singularities to integrable systems with nonlinear dispersion and discrete integrable systems with certain invariant properties.

可积系统广泛地来自于物理、水波、生物和光纤通讯等应用科学中，具有很多好的性质, 与微分几何中的不变几何流和子流形几何密切相关。本项目首先研究具有非线性色散项的连续可积系统的几何结构如几何可积性及其与不变几何流的密切联系，探讨这些可积系统的可积性质如双Hamiltonian结构、Bäcklund变换和对称等可积性质的几何特征。其次，研究具有非线性色散项的连续可积系统解的奇性的分类、形成的条件和机理，寻求与Camassa-Holm方程不同的爆破机制如曲率爆破等，探讨各种非线性因素和色散效应的相互作用对奇性产生的影响。 探讨孤立波的不稳定性能否引起新的奇性现象，并揭示非光滑孤立波解的不稳定性与可积系统奇性的内在联系。最后研究离散可积系统的椭圆函数解的构造、奇性特征和离散系统的奇点结构与可积性的联系；探讨离散可积系统与不变几何流的关系，进而研究这些离散的不变几何流的奇性及其特征。

可积系统及其相关的几何流广泛地来自于物理、水波、生物和光纤通讯等应用科学中。可积系统具有很多好的性质，与微分几何中的不变几何流和子流形几何密切相关。本项目建立了中心等仿射辛几何、Mobius 几何中的不变几何流与非交换可积系统和具有高阶非线性结构的 Camassa-Holm (CH) 可积方程组的关系，给出了 Olver-Sokolov 著名构造的几何解释；得到了完整显式定量版本的惟一延拓性，结合能量归纳法将其应用到非线性 KdV 方程；解决了 Kahler 流形上的薛定谔流的临界空间小初值全局正则性问题；对双曲面间任意大小的调和映射，证明了其在波映照方程下的渐近稳定性；研究了中心等仿射和中心仿射几何中的热流，发现了与欧氏几何和仿射几何中不同的特征，建立了这些热流的初值问题的适定性和长时间行为，特别是证明了中心仿射几何中的热流等价于无粘性 Burgers 方程；建立了 Novikov 可积方程族和 Sawada-Kotera 可积方程族，Degasperis-Procesi (DP) 可积方程族与 Kaup-Kupershmidt 可积方程族之间的 Liouville 对应和守恒律之间的联系。建立了 Novikov 方程和 DP 方程之间广义的Miura 变换；建立了可积方程椭圆形变的一般途径和离散可积系统直接线性化方法的椭圆格式，以及高维离散方程代数几何解的构造方法；引入相容三重组的概念，完成了一大类离散方程有理解的 τ 函数表示；实现了多维相容系统的多元推广，提出了一类新的非对称离散可积方程；建立了离散可积边界条件零曲率表示的方法和开边界约化方法；实现了基于特征函数的离散可积系统的约化；发现了离散 AKP 与 BKP 的新联系；提出了求解非局部方程的双线性约化方法。对高阶非线性 CH 方程和周期的高阶 µ-CH方程，建立了强解的局部适定性、解的爆破准则以及爆破的充分条件，得出了不同于 CH 方程新的爆破现象：曲率爆破；发展新的方法证明了具有高阶非线性项的修正CH 方程的尖峰孤子解的稳定性；由于高阶非线性项的相互作用所带来的困难，提供了证明一个关键不等式的新方法，得到了两分量 Novikov 方程组尖峰孤子解的轨道稳定性；建立了局部化能量所满足的能量不等式和单调性质，证明了两分量尖峰孤立子叠加波形的轨道稳定性。