量子拟shuffle代数及其应用

Quasi-shuffle algebras are the natural generalization of shuffle algebras. They have been studied extensively during the last three decades, and become the fundamental tool for the investigation of multiple zeta values, Rota-Baxter algebras and commutative tridendriform algebras.After a series of important works about quantum shuffle algebras, people want to study the generalization of quantum shuffle algebras-the quantum quasi-shuffle algebra. The aim of this project is to investigate quantum quasi-shuffle algebras and their applications, including the relations of their generators and the representation theory of these algebras. As applications, we want to use quantum quasi-shuffle algebras to study other algebraic structures, for instance, Rota-Baxter algebras, tridendriform algebras, and their quantization. In particular, we want to establish the underlying relation between quantum quasi-shuffle algebras and multiple q-zeta values. Furthermore, we want to study multiple q-zeta values by using the relation.

拟shuffle代数是shuffle代数的自然推广，作为一类重要的Hopf代数，在过去30年里它得到了广泛的研究，并且成为研究多重zeta函数，Rota-Baxter代数，交换tridendriform代数等的基本工具。在对量子shuffle代数作出一系列重要工作后，人们的下一个目标就是研究量子shuffle代数的推广-量子拟shuffle代数。本项目的目的在于研究拟shuffle代数的量子化-量子拟shuffle代数的各种性质和应用，其中包括量子拟shuffle代数的生成元之间的代数关系和它的表示理论。作为应用，我们利用量子拟shuffle代数研究其他一些代数结构，包括Rota-Baxter代数，tridendriform代数以及它们的量子化，特别地，我们研究量子拟shuffle代数与多重q-zeta函数的关系，进而利用这些关系去研究多重q-zeta函数。

拟shuffle代数在多重zeta函数、Rota-Baxter代数、交换tridendriform代数等领域的研究当中扮演着重要的角色，量子拟shuffle代数是拟shuffle代数在辫子张量范畴中的自然推广，本项目的主要目的是研究量子拟shuffle代数的各种性质及其应用。我们首先研究量子拟shuffle代数的代数结构：利用混合shuffle的概念，我们得到了量子拟shuffle乘积的具体公式，并给出了由量子拟shuffle双代数的本原元生成的子代数的一个完整描述；我们构造了量子拟shuffle代数的对偶余代数结构，在交换辫子Rota-Baxter代数上建立了量子拟shuffle代数的表示； 我们引入广义虚拟辫子群的概念，并利用它给出了量子拟shuffle乘积的一个刻画。 另一方面，我们得到了量子拟shuffle代数的一些应用：利用量子拟shuffle代数构造Rota-Baxter代数和tridendriform代数，这些构造引出了关于辫子Rota-Baxter代数的研究；利用拟shuffle代数在Rota-Baxter代数上的表示，给出了多重q-zeta函数的一个新的诠释；刻画了Hopf双模代数上的余张量余代数的Hopf代数结构，证明了它同构于其右余不变子空间的量子拟shuffle代数的波色化，由此构造出这个Hopf代数上的Rota-Baxter算子。最后，基于以上的工作，我们开始了对量子代数与Rota-Baxter代数之间的关系的研究，我们构造了Hopf模代数上的幂等Rota-Baxter代数结构，并证明了量子群的正部具有这些结构。这些结果使得我们对量子拟shuffle代数、Rota-Baxter代数和多重q-zeta函数有了一个更好的理解，并且为进一步研究这些对象提供了有用的工具。