仿射胞腔代数、仿射拟遗传代数与仿射量子Schur代数

Affine cellular algebras and affine quasi-hereditary algebras are two new classes of algebras. They are generalizations of cellular algebras and quasi-hereditary algebras, respectively. The theory of affine cellular algebras and affine quasi-hereditary algebras provides new ways to study a series of infinite dimensional algebras, such as affine Hecke algebras of type A, affine quantum Schur algebras and KLR algebras of finite type. In this project, we will study the relationship of affine cellular algebras and affine quasi-hereditary algebras, give some sufficient conditions under which an affine cellular algebra can be an affine quasi-hereditary algebra. Meanwhile, we will build the structure theory of affine cellular algebras and affine quasi-hereditary algebras, and study how to construct new affine cellular algebras and affine quasi-hereditary algebras. We will check whether some classical extensions such as Frobenius extensions keep the affine cellular structure. We will also study how to construct affine quasi-hereditary algebras by using the theory of quivers and path algebras. The characteristic tilting modules and global dimensions of affine quasi-hereditary algebras with simple modules preserving dualities will be considered by using affine quantum Schur algebras as models. We will give new ways to construct simple modules of affine quantum Schur algebras by using the theory of affine cellular algebras, and give the isomorphic correspondence between these newly constructed simple modules and the known ones.

仿射胞腔代数与仿射拟遗传代数是最近定义的两类代数，它们分别是胞腔代数和拟遗传代数的推广。仿射胞腔代数与仿射拟遗传代数的结构和表示理论为研究一系列无限维代数，如仿射A型的Hecke代数、仿射量子Schur代数及有限型的KLR代数提供了全新的工具。本项目将研究仿射胞腔代数与仿射拟遗传代数之间的联系，给出仿射胞腔代数是仿射拟遗传代数的若干充分条件。同时建立仿射胞腔代数和仿射拟遗传代数的结构理论及研究它们的构造。将研究代数的一些经典扩张，如Frobeius扩张是否保持代数的仿射胞腔结构，以及研究如何利用箭图与路代数的理论构造仿射拟遗传代数。我们还将以仿射量子Schur代数为实例，研究具有保持单模的对合结构的仿射拟遗传代数的特征倾斜模及整体维数。应用仿射胞腔代数的理论，我们将给出仿射量子Schur代数单模的新的构造方法，并建立新构造的单模与已知仿射量子Schur代数的单模之间的同构对应。

仿射胞腔代数与仿射拟遗传代数的结构和表示理论为研究一系列无限维代数如仿射A型的Hecke代数、仿射量子Schur代数及有限型的KLR代数提供了全新的工具，另一方面，仿射量子Schur代数等具体代数的结构与表示理论也为研究仿射胞腔代数与仿射拟遗传代数提供了具体实例。本项目研究了仿射胞腔代数与仿射拟遗传代数的结构与表示理论，同时研究了仿射量子Schur代数及相关分圆量子Schur代数及量子Schur超代数的结构与表示理论。具体研究结果包括：1.证明仿射拟遗传代数的Ringel对偶代数是仿射拟遗传代数；刻画了分次对称胞腔代数的Higman理想，给出了分次对称胞腔代数的半单判别准则；构造了slim分圆量子Schur代数的一组矩阵形式的基，建立了仿射量子Schur代数与slim分圆量子Schur代数的联系，刻画了非单位根情形slim分圆量子Schur的单模分类；给出了退化0-Shcur代数的几何构造并建立了退化0-Schur代数与nil-Temperley-Lieb代数之间的联系。2.刻画了单位根情形下量子Schur超代数的单模分类；得到了量子Schur超代数的一些乘法公式并由此给出了量子Schur超代数的半单判别准则；给出了queer Lie超代数的泛包络代数的新的实现方式，刻画了整的Schur-Weyl-Sergeev对偶。3.给出了Hecke代数的符号置换表示的特征标；建立了分圆Hecke代数与量子超代数之间的超Schur-Weyl对偶；给出了分圆Hecke代数的超Frobenius公式；定义了分圆量子Schur超代数并证明了这类代数是胞腔代数和拟遗传代数；建立了分圆量子Schur超代数与分圆Hecke代数之间的Schur-Weyl对偶。上述研究成果对于深入理解相关代数的结构与表示理论有重要意义。