差商形式的Lagrange反演公式及应用

This project contains two parts. In the first part, we construct divided difference forms of the Lagrange inverse formula. (1) By using the properties of divided difference, we give divided difference form of the Lagrange inverse formula. (2) We obtain divided difference form of the multivariate Lagrange inverse formula based on the multivariate interpolation. (3) We first construct a q-analogue of divided difference operator---q-divided difference, and then obtain the q-divided difference form of the Lagrange inverse formula. In the second part, we give some applications. (1) We study q-analogue of the Pfaff/Cauchy derivative identities. (2) We consider q-analogues of the Bell polynomial, Bernoulli number and Stirling number, respectively. This work is a hybrid study of numerical algebra and algebraic combinatorics. It will bring new methods and theories for numerical computation and combinatorics. Furthermore, it will facilitate the resolution of the problems of engineering, economy, finance and so on. Therefore, this project has great theoretical value and social economic value.

本项目的研究包括两个部分。第一部分建立Lagrange反演公式的各种差商形式。（1）利用差商的良好性质，给出差商形式的Lagrange反演公式。（2）由多元函数的混合偏差商建立多元Lagrange反演公式的差商形式。（3）构造差商算子的q模拟—q差商算子，并在此基础上获得Lagrange反演公式的q-差商形式。第二部分研究上述得到的结果在组合q模拟中的应用。（1）拟研究Pfaff/Cauchy导数恒等式的q模拟。（2）Bell多项式、Bernouli数以及Stirling数的q模拟问题。本项目的研究可以使数值代数与代数组合学两个方向充分交叉，为数值计算和组合学的发展和创新提供新的方法和理论准备，也可以促进工程、经济、金融等实际问题的有效解决，具有很强的理论价值和社会经济效益。

本项目旨在建立Lagrange反演公式的各种差商形式。由多元函数的混合偏差商建立多元Lagrange反演公式的差商形式，研究Lagrange反演公式在组合q模拟中应用，旨在研究Pfaff/Cauchy导数恒等式、Bell多项式、Bernouli数以及Stirling 数的q模拟问题。我们按照原定计划开展了研究，并取得了预期的成果。（1）我们得到了多元Lagrange反演公式的差商形式，并在此基础上得到了一系列新的矩阵反演公式。（2）我们对Stirling数的二元递推关系加以推广，得到两大类m-Stirling数，并研究了其组合解释及递推关系、生成函数。（3）在差商的基础上我们给出了Abel Hagen-Rothe恒等式的统一证明并由此得到了Taylor展开的推广，从而得到了新的组合恒等式。