随机图和随机环境中的接触过程、选举模型、排他过程

This project concerned with contact processes, voter models and exclusion processes in random environments and random graphs. The random environments we consider are independent identically distributed random edge (vertex) weights on complete graphs, lattices and regular trees. When the random weight has a two-point distribution, then our random environments are Erdos-Renyi model on the complete graphs, bond (site) percolation on lattices, Galton-Watson trees with binomial offspring distributions and so on. We are concerned with the evolutions of the three particle systems in the above random environments. We will study the critical value of the contact process, the critical density of the voter model and the recurrence of a tagged particle of the exclusion process.

本项目重点关注随机图和随机环境中的三类粒子系统模型——接触过程、选举模型、排他过程的数学性质。我们考虑的随机环境主要是完全图、格点或齐次树上的独立同分布随机边权重或独立同分布随机点权重的情形。其中，当边(点)权重的分布取两点分布这一特殊情形时，随机环境就转化为完全图上的Erdos-Renyi模型、格点上的边(点)渗流模型、子代服从二项分布的分支树等随机图模型。我们将考虑三类粒子系统模型在上述随机环境中的演化规律，具体关注接触过程的临界值估计、阈值选举模型的临界密度计算以及排他过程中的加标签粒子的随机游动的常返性等问题。

在本项目支持下， 我们关注了随机图和随机环境中的接触过程、选举模型、排他过程三个模型. 这三个模型属于概率论分支粒子系统理论. 作为接触过程研究的一个辅助过程，SIR模型也是我们在本项目中的关注对象. 我们获得了如下结果..1. 得到了有向格点上具有随机点权重的接触过程的存活概率的极限定理..2. 给出了高维格点上接触过程临界值上界的一个改进估计..3. 证明了高维两阶段接触过程临界值的一个极限定理..4. 得到了完全图上具有随机转移速率的SIR模型的相变现象..5. 引入了完全图上具有半感染态的接触过程且证明了其临界值是4..6. 得到了完全图上具有随机康复速率和边权重的接触过程的相变现象..7. 得到了开簇上具有随机康复速率的接触过程的临界值的极限行为..8. 证明了E-R图上具有随机点权重的接触过程的大数定律..9. 得到了高维接触过程存活概率的平均场极限..10. 证明了齐次树上具有随机点权重的接触过程的临界值渐近与权重的二阶矩成反比..11. 得到了开簇上具有随机康复速率的接触过程的相变现象..12. 证明了齐次树上具有随机康复速率和边权重的接触过程的临界值的极限定理.