流体力学中两种浅水波方程的孤子解及其动力学性质研究

Water wave is a typical phenomenon in fluid mechanics. As the energy of the solitons is stable and concentrate in limited areas, soliton equations in waters have caused great attention. In this item, we will study that:.(1)the derivation and analytically solving of the variable-coefficient KdV equtions with irrotational and rotational flow;.(2)The Lax pair, Darboux transformation and Wronski solutions of the variable-coefficient dispersive water-wave equations..Law of motion and dynamic properties of the offshore solitons will be announced by analysing the effect of variable coefficients and interaction of the solitons.

在流体力学领域中，水波是一种典型的自然现象，由于孤子具有能量集中在有限区域、并且稳定存在的性质，水波中的孤子方程引起了人们的关注。本项目主要研究流体力学中：.（1）无旋和有旋两种情形下变系数KdV方程的推导、解析求解；（2）变系数色散水波方程的Lax可积性分析、Darboux变换和朗斯基行列式解的构建。.通过分析变系数对孤子解的影响以及孤子间的相互作用关系，揭示了近海孤子的运动规律和动力学性质。

本项目主要研究了两个系统，一个是我们在无旋情况下用约化摄动方法得到的变系数KdV方程，另一个是变系数扩展的色散水波方程。对于变系数KdV方程，应用扩展的行波方法以及tanh方法，我们得到了该方程积分意义下的几种孤子解；对于变系数扩展的色散水波方程，我们得到了该方程潘勒韦可积和Lax可积的约束条件，借助变换得到的变系数AKNS系统，我们得到了变系数扩展的色散水波方程的双朗斯基行列式形式的解，并且给出了解没有奇点的谱参数条件，最后我们讨论了孤子间的相互作用关系。希望本项目的成果能够对流体力学中模型的推导以及非线性和色散问题的研究有一定的帮助作用。