两类浅水波方程解的性质研究

The shallow water wave equation is an important kind of nonlinear evolution equation, which can not only describe the motion of the free surface of the shallow water, and also produced in the deep ocean bottom. In this program we will carry out the research of the properties of solutions to two kinds of shallow water wave equations. On the one hand, we study the blow-up phenomena, the persistence property and infinite propagation speed for a shallow water equation; on the other hand, we study the blow-up phenomena and the continuity of the solution map for the generalized Camassa-Holm equation.

浅水波方程是一类非常重要的非线性发展方程. 浅水波不仅能描述浅底的自由表面的运动, 还能产生于深底海洋中. 本课题主要研究两类浅水波方程的解的性质. 一方面, 研究 a+b 型浅水波方程强解的爆破性、持续性和无限传播速度; 另一方面, 研究具有 k+1 阶非线性项的广义 Camassa-Holm方程强解的爆破性和解映射的连续性.

本项目研究了两类浅水波方程的解的性质。一类是a+b型浅水波方程;另一类是具有 k+1 阶非线性项的广义 Camassa-Holm方程。项目的完成情况总结如下：(1) 证明了a+b 型浅水波方程的一个爆破性定理，即如果存在一点x_0使得初始值y_0(x_0)=0，且当x>x_0时y_0(x)<0；当x<x_0时y_0(x)>0，那么方程的解在有限的时间内爆破。相应的，我们还证明了解的全局存在性定理以及无限传播速度。（2）证明了耦合了质量守恒方程的一类浅水波方程组的爆破性准则，即如果初始值y_0和\rho_0同时满足相应的符号条件，那么方程组的解在有限时间内爆破。(3) 证明了一类高维浅水波方程的解对初始值是非一致连续依赖的，即当初始值||u_n(0)-v_n(0)||趋近于0时，我们找到了两个解序列满足liminf||u_n(t)-v_n(t)||>|sint|。(4) 证明了具有阶非线性项的广义 CH 方程的解在Besov空间的Hölder 连续性。 在研究过程中，我们遇到一个困难就是得不到输运项u^k u_x的估计，因此非一致连续性暂时还没有办法解决。作为本项目的延伸我们将继续想办法攻克这个难题。