具有尖峰孤子解浅水波系统的整体解和爆破解

自从1992年模拟浅水波的Camassa-Holm方程被得出，具有尖峰孤子解的偏微分方程就引起了数学家和物理学家的关注。本项目主要研究两个具有尖峰孤子解系统的爆破解和整体解，将在周期和非周期情形下研究全局强解和全局弱解的存在唯一性及爆破现象。第一个Camassa-Holm系统由我们提出，它具有Camassa-Holm方程的显著性质，即尖峰孤子解和H^1范数守恒律，在几何上它被定义为测地运动。第二个系统是Camassa-Holm和Degasperis-Procesi相互作用的系统，作为Degasperis-Procesi方程的二分支推广是由Z. Popowicz提出来的。我们把研究单个方程的方法推广到系统，利用系统的结构和已有的或构造出新的守恒律来研究这两个系统整体解的存在唯一性及确保强解爆破的关于初值的充分条件。本项目的研究将会丰富浅水波系统的定性理论，为研究浅水波的相互作用提供理论依据。

本项目的主要工作是围绕与Camassa-Holm（CH）方程和Degasperis-Procesi（DP）方程有密切关系的一些系统和方程展开的。首先，对一个两分量的Degasperis-Procesi系统和一个广义的Davey-Stewartson系统得到了惟一连续性和持久性 ；其次，给出了µ-CH 方程和µ-DP 方程的新的几何解释，并研究了这两个方程初值问题强解的爆破，给出了解的爆破准则和爆破的充分条件；再次，对一个带有三次非线性项的Camassa-Holm方程在Besov空间中证明了它强解的适定性和爆破现象；然后，对一类推广了反应-扩散-对流方程的二阶发展方程给出了条件Lie–Bäcklund对称和符号不变量；最后，构造了µ形式的带有三次非线性项的Camassa-Holm方程和Fokas方程，分别得出了这两个方程的可积性，强解的适定性和爆破现象，另外证明了µ形式的Fokas方程周期情形下尖峰孤子解的轨道稳定性。