带自相容源的孤子方程新类型的精确解及其动力学性质研究

As a new class of nonlinear equations with soliton solution, soliton equation with self-consistent source can describe the interactions between different solitary waves, it has a wide range of applications in the fields such as Physics, Mechanics, Biology, and so on. The study of this class of soliton equations has important scientific significance to the development of soliton theory. Currently there are still rare on the research of how to construct and solve the soliton equations with self-consistent source, especially on the results of new types of exact solutions and their dynamical characteristics. The project aims to study the new types of exact solutions and their dynamical characteristics for the isospectral and nonisospectral soliton equations with self-consistent source, by distinguishing the continuous and discrete situations. Based on the Darboux transformation, we develop the method for solving the case of continuous soliton equations with self-consistent sources and discovery its new types of exact solutions. Then we take use of the Hirota bilinear method and source generating method to construct the discrete soliton equations with self-consistent source. And seek its exact solutions with the help of Gramm technique or Pfaff technique. Further, we investigate the dynamical characteristics of these new types of exact solutions by utilizing furcation theory of dynamical system together with qualitative theory of differential equations, discuss the meaning and essential attributes of these solutions. The results will develop the technique of constructing and solving the soliton equations with self-consistent source, obtain more exact solutions of such equations and enrich the research of soliton theory.

带自相容源的孤子方程作为一类新的非线性孤子方程，可以描述不同孤立波的相互作用，在物理、力学及生物等领域都有广泛应用，这类方程的研究对孤子理论的发展具有重要的科学意义。目前关于带自相容源孤子方程的构造与求解，尤其是其新类型的精确解与动力学性质的研究尚不多见。本项目将针对等谱和非等谱的带自相容源孤子方程，分别研究其连续和离散情形下孤子方程的精确解及其动力学性质。首先利用广义双Darboux变换求解连续孤子方程，得到其新类型的精确解；进而基于Hirota方法和源生成法探索离散孤子方程的构造，并由Gramm行列式解或Pfaff式解求得其不同类型的精确解；在此基础上，利用动力系统分岔理论和微分方程定性理论研究这些精确解的动力学性质，探讨这些解是何种意义下的解及其蕴含的孤子本质属性。本项目的研究将进一步发展带自相容源孤子方程的构造与精确求解方法，获得这类方程更多新类型的精确解，丰富孤子理论的研究成果。

在非线性科学的发展过程中，大批具有孤子解的非线性孤子方程在诸多领域不断地被揭示。如何精确求解这些非线性孤子方程以及分析它们的动力学行为和性质是孤子理论研究的基本问题之一。在孤子理论发展的过程中，非线性孤子方程越来越多类型的精确解逐渐被发现。其中以Positon解、Negaton解和Complexiton 解为代表的新类型的精确解，描述了越来越丰富的自然和物理现象，这些新类型精确解的研究已成为非线性孤子方程研究的热点问题之一。.通过本项目的研究工作，发展和推广了非线性孤子方程的构造和求解方法，得到了其孤子解、Positon解和Negaton解、以及Complexiton解等新类型的精确解。在此基础上，利用动力系统分岔理论和微分方程定性理论研究这些精确解的动力学性质，探讨这些解是何种意义下的解及其蕴含的孤子本质属性。揭示带自相容源孤子方程的本质属性，得出其新类型精确解的参数与孤立波的动力学行为之间的关系，以及各种孤立波之间的相互作用和影响。在完成项目研究目标的基础上，还研究了非线性波方程的解的存在性与稳定性；探讨了非线性微分方程的全局稳定性以及吸引子的存在性。.项目成果发表学术论文12篇，其中SCI、EI检索8篇，主要发表在Discrete Dynamics in Nature and Society、Nonlinear Analysis等期刊。项目组成员参加国内会议5人次。先后邀请国外专家学者2人次、国内专家1人次来校访问，开展合作研究，推进项目研究工作。项目执行过程中，共培养硕士生6名，其中硕士毕业2人，在读4人。.寻找孤子方程的精确解不但在理论上有助于进一步了解孤子方程的本质属性和代数结构，而且在应用上也可以合理地解释相关的自然现象并加以控制与利用，其意义不言而喻。本项目的研究将进一步发展非线性孤子方程的构造与精确求解方法，获得这类方程更多新类型的精确解，丰富孤子理论的研究成果。