基于符号计算的非线性孤子方程精确解及其动力学性质研究

Soliton, as a nonlinear phenomenon, frequently appears in many research fields such as Mechanics, Physics and Optical fiber etc.. Studying the exact solutions and their dynamical characteristics to the nonlinear soliton equations are a focus. Because of the complexity of the nonlinear soliton equations, there are not unified solving method and we still can not solve many important equations. In this project, we study the exact solutions of nonlinear soliton equations, the methods for solving nonlinear soliton equations based on symbolic computation, and the dynamical characteristics of exact solutions. First, mainly using the Hirota bilinear method，we look for the new exact solutions of nonlinear soliton equations; Second, based on symbolic computation，we obtain exact solutions of more soliton equations by constructing new solving methods, and analyze the evolution and interaction of solitons, and investigate the generic characteristics of solitons; Last, we use bifurcation theory of dynamical system to study the dynamical characteristics of exact solutions, classify the solutions, and explore the causing reason and existing bifurcation conditions of the non-analytic solutions (eg.compacton) and non-traveling wave solutions (eg.complexiton). Moreover, we investigate that under what meaning these solutions are. The research results of this project will enrich the soliton theory and help us deeply explore and study the physics meaning, mechanics meaning as well as their movement characteristics of practical model.

孤子作为一种非线性现象频频出现于力学、物理学、光纤通讯等众多领域。研究孤子方程的精确解及其动力学性质，一直是数学、物理和力学等领域的研究热点。由于非线性孤子方程的复杂性，目前尚没有统一的求解方法，仍有大量的重要方程无法精确求解。本项目围绕寻求非线性孤子方程的精确解，基于符号计算的精确解求解方法及精确解动力学性质研究三方面展开。主要以Hirota双线性方法为基础，寻找孤子方程新的类型精确解；基于符号计算，提出新的求解方法，获得更多孤子方程的精确解，分析孤子解的发展情况及孤子间相互作用，探讨方程所蕴含的孤子本质属性；运用动力系统分岔理论研究精确解动力学性质，分类精确解，研究非解析解(compacton等)和非行波解(complexiton等)的产生原因和存在的分岔条件，探索这些解是何种意义下的解。本项目的研究将进一步丰富孤子理论，有助我们继续深入探索和研究实际模型的物理、力学意义及其运动规律。

孤子作为一种非线性现象频出现于力学、物理学、光纤通讯，应用数学等领域。本项目基于前人研究基础，主要做了以下研究工作：.（1）非线性孤子方程精确解的研究。基于双Bell 多项式, 得到 Levi方程的两种等价Hirota双线性方程，利用Wronskian 技巧求得Levi方程的双Wronskian多孤子解；建立方程的双线性Bäcklund变换及Lax对；进而建立Levi方程的达布变换，以及无穷多守恒率。得到一类2+1维非线性方程的双线性形式，由此得到方程的Riemann theta 函数 one-periodic 波解 和n-孤子解以及 one-periodic 波解的渐近性质。得到方程的双线性Bäcklund 变换以及对应的Lax 对。基于BKP方程的 Hirota 双线性，Wronskian 和 Grammian 技巧，建立（2+1）维BKP方程的Wronskian 和Grammian 多孤子解。 结果表明，BKP方程不但具有先前的Pfaffian解，还具有Wronskian 和Grammian 多孤子解。.（2）基于符号计算的孤子方程的精确解的求解方法的研究。用推广的同宿波测试方法(Extended Homoclinic Test Approach) 求解几类非线性孤子方程。得到两类BLMP方程的一些新的精确解，得到推广的KP方程和推广的BKP方程的一些新的精确解。包括奇异周期波解、周期扭子解、周期孤子解等。新的精确解的动力学特征通过图像被表征研究。.（3）可积系统的研究。基于简单线性李代数sl(2,R)，利用李代数的半直和分解思想和构建可积耦合系统的方法，建立GJ孤子族的可积耦合系统；利用双可积耦合系统的理论基础，将可积耦合扩展为双可积耦合；最后又扩充到三可积耦合。利用变分恒等式及非退化的双线性形式分别求得各种可积耦合系统的Hamiltonian结构。基于简单实正交李代数so(3,R)，构建一类新的可积系统及其Hamiltonian结构和其扩展可积耦合模型及其Hamiltonian结构。丰富可积模型的种类。.（4）非线性波动方程行波解及其动力学性质的研究。基于动力系统分岔理论，研究2+1维Broer-Kaup-Kupershmidt(BKK)方程的行波解及其动力学行为。在不同的参数分岔区域，研究各种可能的行波解。特别，在一些特殊参数条件下显式求解一些行波解。