关于黎曼-芬斯勒几何的若干问题研究

Riemann-Finsler geometry (Finsler geometry for short) is an important frontier subject in modern mathematics. Its theory and methods also assert themselves in applications, most notably in many fields of the natural sciences. This project study some problems in Finsler geometry. We are going to do the following: 1. Study on geometry of general（α，β）- metrics, in particular, spherically symmetric metrics; 2. Construction of homogeneous Einstein Finsler metrics on the spheres; 3. Description of geodesics on Finsler manifolds; 4. Finding new Finslerian sphere theorems. Riemann-Finsler geometry has close relation with control theory, theoretical physics，topology and so on. This project will promote development of mathematics and related natural sciences in China. It will strengthen the communication and cooperation among the geometers at home and abroad.

黎曼-芬斯勒几何（简称：芬斯勒几何）是现代数学中的重要前沿学科，其理论和方法在自然科学的许多领域中具有广泛的应用。本项目主要研究广义（α，β）度量（包括球对称度量）的几何；球面上齐性爱因斯坦芬斯勒度量的例子和构造；芬斯勒流形上测地线的描述；芬斯勒几何中的球（面）定理。芬斯勒几何不仅与齐性空间理论、微分方程、临界点理论、拓扑学等数学分支具有密切联系，并且与控制论和物理学相沟通。这项研究将对于各种广义（α，β）度量（比如，局部射影平坦的广义（α，β）度量）的性质、例子、刚性及分类，不同维数之球面上齐性爱因斯坦芬斯勒度量的描述和构造，芬斯勒流形上各类测地线的刻画和描述，芬斯勒几何中关于Ricci曲率之球面定理的建立注入新的活力，对促进我国数学及其相关学科发展，加强国内外几何学者的交流与合作具有重要意义。

在项目的执行过程中，我们在Funk型Finsler空间中等周问题、对偶平坦芬斯勒度量、具有良好旗曲率或Ricci曲率性质的Finsler度量、Spray的可Finsler度量化问题及芬斯勒流形上的共形航海问题等方面取得了一系列重要成果，完成并发表了多篇高水平的、被SCI收录的论文，并三次被邀请在国际会议上作报告(线上和线下)。在此期间，我们邀请加拿大几何专家叶德平来北大访问，并一起探讨了Finsler空间上的等周不等式。项目负责人莫小欢和国内外几何学家沈忠民，沈一兵等一起成功举办了每年的芬斯勒几何研讨会，并作报告或交流。项目负责人与项目主要参与者在Springer出版社出版了Finsler几何专著《The Geometry of Spherically Symmetric Finsler Manifolds》。在此期间毕业博士生两名，目前在读博士生两名。