整体黎曼-芬斯勒几何若干问题的研究

Finsler geometry is a class of metric geometry, which is more extensive than Riemann geometry. This project mainly focuses on global geometry, analysis and topology in Riemann-Finsler geometry. The contents are as follows. (1) Researches on harmonic functions, eigenvalues and heat flow on a Finsler manifold. For example, the algebraic and analytic properties of harmonic functions; characterization of the first eigencone; the lower or upper bound estimates of the first eigenvalue for the Finsler (p-) Laplacian; Li-Yau type estimate of the positive solution of the heat flow on a complete Finsler manifold and study of heat kernel etc. (2) Researches on isometric immersion ( embedding) of Finsler manifolds, including the rigidity, analysis and topology of the submanifolds, and the global embedding of submanifolds in a Minkowski space etc. (3) Researches on Einstein Finsler metrics and the geometry and topology of Einstein Finsler spaces, such as, the rigidity and existence of Einstein Finsler metrics, and geometry and topology of Ricci flat (or constant) Einstein Finsler spaces etc. By means of this project, we will extend the range of Finsler geometry, deepen the understandings of the global analysis and topology of Riemann-Finsler geometry, and strengthen the communications and coorperations among the geometers at home and abroad. This project involves several subjects, such as, geometry, analysis, partial differential equation and topology etc.. It is a challenging topic.

芬斯勒几何是比黎曼几何更广泛的一类度量几何. 本项目主要研究黎曼-芬斯勒几何中整体几何、分析和拓扑等. 内容有: (1) 芬斯勒流形上调和函数、特征值和热流的研究，如调和函数的代数和分析性质；芬斯勒(p-)拉普拉斯算子第一特征锥的刻画及第一特征值上、下界估计;完备芬斯勒流形上热流正解的Li-Yau型估计和热核研究等. (2)芬斯勒流形间等距浸入(嵌入)的研究，包括子流形的刚性、分析与拓扑和MinKowski空间中子流形整体安装等. (3)爱因斯坦芬斯勒度量和爱因斯坦芬斯勒空间几何与拓扑的研究，如爱因斯坦芬斯勒度量刚性与存在性和Ricci平坦（或常数）的爱因斯坦芬斯勒空间的几何与拓扑等. 通过本项目的研究，拓广芬斯勒几何研究范围，加深黎曼-芬斯勒几何整体分析与拓扑的理解和加强国内外几何学者的交流与合作. 本项目的研究涉及到如几何、分析、偏微分方程与拓扑等多门学科，是一个挑战性课题.

芬斯勒几何是比黎曼几何更广泛的一类度量几何，它是当前国内外十分活跃的数学研究领域之一。本项目主要研究整体芬斯勒几何相关问题，在主要研究内容包括芬斯勒流形上调函数、特征值问题和热流等研究；完备芬斯勒流形上某些分析不等式的建立及其应用；芬斯勒流形上曲率与拓扑关系以及爱因斯坦芬斯勒度量构造及其几何与存在性探索方面均取得了重要进展和成果。特别获得了带权Ricci曲率有常数下界的紧致无边或带凸边的芬斯勒流形上第一闭或Neumann的p-特征值最佳下界估计，p-特征函数（特别p-调和函数）局部与整体梯度估计及其应用；在一定的曲率条件下建立了紧致或完备芬斯勒流形上最佳p-Poincare不等式、(p, q)-Sobolev不等式、Hardy不等式和Rellich不等式及其应用；Ricci曲率和S-曲率均非负的完备芬斯勒流形上基本群有限生成子群有n次多项式增长；构造系列齐性爱因斯坦芬斯勒度量并研究其几何特征；引进一类新的Ricci平坦芬斯勒度量并探索其存在性等结果。这些成果均达到国内外专家同类研究水平。通过本项目的研究，加深和拓展了对芬斯勒流形上整体几何、分析与拓扑的理解，加强了国内外学者的交流，对促进我国数学科学发展具有重要意义。