关于相邻整数的最大素因子以及类素数之间的小间隔问题

The problem on the largest prime factors of consecutive integers can date back to the correspondence of Erdős and Turán in the 1930s. This is a constant concern for Erdős, and he mentioned this problem on several occasions. If we replace integers by prime numbers in this problem, it corresponds to the famous twin prime conjecture. In this project, we first study the largest prime factors of three consecutive integers, and we expect to improve the previous results of Erdős, etc. Second, we study the largest prime factors of prime-like numbers (i.e. a weak version of twin prime conjecture) to approach the twin prime conjecture, and so we may understand these questions better. In addition, when studying these questions, we need the Bombieri-Vinogradov theorem on the distribution of primes in arithmetic progressions. This is one of the most inportant theorems in analytic number theory, and a variant of this theorem plays a crucial role in Yitang Zhang's paper concerning the twin prime conjecture. We expect to obtain a new theorem of Bombieri-Vinogradov type, and apply it to several questions. The research area of the investigator is analytic number theory, and the investigator has shown some results, published five papers, with another having been accepted. These all ensure the successful accomplishment of this project.

相邻整数的最大素因子问题可以追溯到1930年代Erdős和Turán在通信中提到的猜想。这是Erdős一直比较关心的一个问题，并在多个场合提及。而当把整数限制为素数时，这个问题对应著名的孪生素数猜想。本项目中，首先我们研究三个相邻整数的最大素因子问题并期望改进之前Erdős等人的结果；其次，研究类素数的最大素因子问题（即孪生素数猜想的弱形式版本）来接近孪生素数猜想，以更好的理解这类问题。此外，在研究这类问题时，要用到关于算术级数中素数分布的Bombieri-Vinogradov定理。这是解析数论中最重要的定理之一，张益唐关于孪生素数猜想的论文中一个关键点就是这个定理的变形。我们期望构造一个新的Bombieri-Vinogradov型定理，并在一些问题中有应用。申请人研究方向是经典解析数论，在此方向已做出一些工作，正式发表五篇Sci论文，另有一篇已接收，这些都确保了本项目能够顺利完成。

相邻整数的最大素因子问题可以追溯到1930年代Erdős和Turán在通信中提到的猜想。孪生光滑数猜想、Erdős-Turan猜想等是该问题中的重要猜想。这几个猜想是Erdős一直比较关心的一个问题，并在多个场合提及。而当把整数限制为素数时，这个问题对应著名的孪生素数猜想。本项目中，申请人条件性证明了孪生光滑数猜想和Erdős--Turán 猜想；与合作者首次证明了上述三个猜想的均值版本，并将其应用于著名的abc 猜想，证明至少正密度的三元整数组满足比abc 猜想更强的上界条件；证明了孪生素数猜想的一个弱变体，得到了现有技术下几乎最优的E_2 数结果。此外，在现代解析数论的自守L-函数方面，与合作者首次给出所有高阶GLm, m>3情形下，自守L-函数Dirichlet 系数指数和估计的非平凡上界；给出了一类自守L-函数Dirichlet系数的均值估计。上述结果发表于Adv. Math., Math. Ann.等综合数学期刊，以及J. Number Theory, Ramanujan J.等数论专业期刊。