华罗庚域上的复几何分析理论与应用研究

本研究课题属于多复变函数论中的复几何分析范畴，主要研究复几何分析中三方面问题：一为拟凸域上的极值问题及其应用；二为拟凸域上的Bloch函数与Bloch函数空间上的算子理论及其应用；三为Bergman核函数的应用研究。具体地，就是希望得到华罗庚域上的各种情况下的极值与极值映照，并考虑其在全纯映照、全纯函数的边界性质等方面的应用；得到典型域上Bloch全纯函数空间之间或者Bloch全纯函数空间与其它函数空间之间的各种算子的有界性和紧性等刻画，并进一步考虑其应用，将Bloch常数概念推广到华罗庚域上的Bloch全纯函数空间（或其子空间）上，并对Bloch常数进行估计；利用华罗庚域上Bergman核函数研究复几何分析方面问题等。本课题研究体现学科的交叉和相互渗透，关键问题的突破将会对多复变函数论的发展起促进作用。

本课题进行三个方面的研究：一为拟凸域上的极值问题及其应用研究，得到了第二类Cartan-egg域上的极值和极值映照；二为拟凸域上的Bloch函数与Bloch函数空间上的算子理论及其应用研究。给出了典型域上加权Bloch函数的定义，得到了典型域上加权Bloch函数空间之间复合算子是紧算子的充分必要条件；也得到了典型域上加权Bloch函数空间之间复合算子是有界算子和紧算子的充分条件和必要条件；更重要的，我们推广了华罗庚不等式，并利用此推广了的华罗庚不等式，在华罗庚域上给出了加权Bloch函数的定义，得到了华罗庚域上加权Bloch函数空间之间复合算子是有界算子和紧算子的充分条件和必要条件。而华罗庚域是分片典型域，除一些特殊情况外是非可递域，这方面的研究充分体现了我们的研究特色；我们也研究了单位圆盘和高维单位超球上的函数空间上各种算子的性质，得到丰富的成果；三为利用Bergman核函数的显表达式研究了复蒙日-安培方程Dirichlet问题数值解。我们的成果推广了已有的一些研究结果，在概念，研究方法和研究结果上都有所创新。在本资助项目执行的四年时间里，研究团队共发表了标注本基金项目号的研究论文31篇。. 在本资助项目执行的四年时间里，苏简兵教授培养毕业科学学位研究生7名，刘永民教授培养毕业科学学位研究生5名。因此四年共培养毕业研究生12人，目前还有在读科学学位研究生3人。. 在本资助项目执行的四年时间里，我们举办了“2012全国复变函数专家研讨会”，有来自全国18所高校或者科研院所的30名专家学者参加了本次会议。承办了“2013年全国多复变学术年会”，最终到会专家和研究生有150人。特别地，我们邀请到世界著名数学家丘成桐先生、丘成栋先生、刘克峰教授和黄孝军教授参加会议并作大会特邀报告。同时本项目团队成员参加各种中大型学术会议46人次，进行各种学术交流有百余人次。