二维哈密顿同胚群结构的研究

This program study the structure of the Hamiltonian homeomorphisms group on surfaces. In 1980, A.Fathi［Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.(4),13(1980), no.1, 285-299] proved that the subgroup G of Homeo(M^n) with rotation vector 0 of a finite measure of M and isotopic to Id is simple, where M is a closed oriented manifold and the dimension n is more than 3. Note that the case when n=1 G is trivial, and when n=2 we call it as Hamiltonian homeomorphisms group. Hence, the simpleness of the case of dimension two is still an open problem. In 2007, Y.G.Oh and S.Müller [J. Symplectic Geom., 5 (2007), no. 2, 167-219] proved that the C^0-topology closure of Hamiltonian diffeomorphisms group, denoted by H, is a subgroup of G. Furthermore, they applied Hofer metric to construct a subgroup Q of H and proved that Q is a normal subgroup of G...In this program, we first want to prove that Q is a proper normal subgroup of G on the dimension two. It will lead to a negative answer to the open problem. And then, we will study the C^0 approximation problem of Hamiltonian diffeomorphisms group, that is, whether the group H is a proper subgroup of G. This is an important frontier problem both in the fields of symplectic geometry and dynamical systems.

本项目研究二维哈密顿同胚群的结构。在有向闭流形M上，定义于M上的关于某有限测度的旋转向量为０的，同痕于恒等映射的所有同胚构成了一个群Ｇ，在二维情形我们称G为哈密顿同胚群。A.Fathi于1980年证明了当M的维数大于２时，G是单的，即Ｇ没有非空的正规真子群。而在１维情形该群是平凡的，因此２维的情形是至今没有解决的问题，人们普遍猜测此时Ｇ是非单的。在辛几何领域，Y.G.Oh和S.Müller在2007年构造了Ｇ的一个非平凡子群H，它是哈密顿微分同胚群的C^0闭包，他们进一步利用Hofer度量构造了H的一个子群Q，且Q是G的正规子群。.本项目我们将利用辛几何和动力系统的工具，首先证明在2维时，Q是Ｇ的正规真子群，这将否定回答上面提到的公开问题；其次我们将研究哈密顿微分同胚群的C^0逼近问题：群H是否为群G的真子群？这是辛几何和动力系统领域所关心的重要的前沿问题。

研究表明，作用量函数蕴含了动力系统大量的拓扑不变量。尤其在辛几何领域，经典的作用函数在辛拓扑中被广泛的研究并且得到了许多重要的成果。由于经典的Gromov-Eliashberg刚性定理，使得人们对于$C^0$辛几何产生兴趣，近年来大量的光滑辛微分同胚的一些性质被推广到了相应的$C^0$辛同胚上。而在二维曲面上，一族哈密顿微分同胚的的$C^0$-极限对应着那些平均旋转向量为0的同胚，我们称之为哈密顿同胚。在本项目中，我们证明了：在亏格大于等于1的闭有向曲面上，在弱有界的条件下，广义$C^0$-辛作用函数是存在的；广义辛作用函数关于同伦不变；证明了$C^0$-Schwarz定理，这一工作回答了巴黎六大数学系教授Le Roux的问题；得到了哈密顿同胚不动点集的某些结构性质；得到了$C^0$-广义Arnold猜想(参考Floer和Hofer的工作)在二维曲面成立, 这一工作回答了巴黎六大数学系教授Humiliere提出的问题；得到了$T^2$上的哈密顿同胚群以及亏格大于等于2闭曲面上的同胚群没有周期元素；得到了二维Zimmer猜测的另一个证明，并推广了Polterovich的结果。