基于小波函数的辛与多辛算法及其应用研究

In this project, we make research on the basic theory of symplectic methods and multi-symplectic methods for linear Schrodinger equations and stochastic Schrodinger equations. The structure preserving algorithms we constructed will then be applied to numerical simulation of the open quantum systems. The main content of this project includes the following two aspects: The first part is to further improve the theoretical system of symplectic and multi- symplectic methods oriented to the practical applications, including the treatment of non-periodic boundary conditions, the construction of symplectic schemes and their corresponding fast algorithms based on the wavelet functions, the combination of symplectic algorithm with unstructured meshes, and the design of adaptive algorithms in the view of preserving structure. The second part is to study the application of symplectic methods in the numerical simulation of open quantum systems. We will use the linear Schrodinger equation and the linear stochastic Schrodinger equation as basic mathematical models. Symplectic wavelet collocation schemes will be constructed and analyzed for system of the linear Schrodinger equation. Some finite difference method and wavelet collocation methods of deterministic system will be extended to the linear stochastic Schrodinger equation. This project will not only further enrich the basic theory and numerical calculation of the symplectic methods, but provide numerical methods to simulate the open quantum systems in more efficient, stable and accurate way.

本项目研究和发展线性Schrödinger方程和随机线性Schrödinger方程的辛与多辛算法的基本理论，并将这些方法应用于开放量子系统的数值模拟。项目的研究内容包括两个部分：1、针对实际应用，研究新型辛与多辛算法的构造，包括非周期性边界条件的处理，基于小波基函数的辛几何算法与相应的快速算法，辛算法与非结构网格的结合，以及保结构观点下的自适应算法；2、研究辛几何算法在开放量子系统中的应用，以线性Schrödinger方程和随机线性Schrödinger方程为基本数学模型，构造线性Schrödinger方程组的辛小波配点格式并分析算法性态，将确定系统的差分型和小波配点型辛几何算法推广到随机线性Schrödinger方程。本项目的研究将进一步充实辛几何算法的理论基础和数值计算，也将为更高效、稳定和精确的模拟开放量子系统提供数值计算方法。

本项目基于小波配点方法、谱方法、高阶紧致差分格式、哈密尔顿边值方法等针对非线性偏微分方程构造出一系列高效、高阶精度的保结构算法，在数值实验中保证了长时间计算的稳定性和守恒性。针对各种复杂系统的数学结构，找到一种构造保结构算法的一般途径，能够直接应用于一大类非线性问题，并可以根据问题自适应地选择需要保持的定物理量。。通过与WENO算法结合，使用保结构思想发展了可以处理间断问题的非结构网格WENO数值方法。为提高数值计算能力，本项目初步完成了并行计算平台的搭建，探究了使用parareal算法对随机系统的加速，取得了理想的数值效果。应用层面上，对于量子系统中的Schrodinger方程和GP方程，构造出一系列高效、高精度保结构算法，并应用于波色-爱因斯坦凝聚问题的研究。项目发展了保结构算法在随机问题、分数阶问题和耗散问题中的应用，有效拓展了相关领域的研究水平，达到了预期目标，实现了项目规定的技术指标。