非线性Fourier原子的时频分析与应用

The classic methods of time-frequency analysis, such as spectrogram, wavelet analysis, Wigner distribution and etc can be regarded as derivatives of Fourier analysis, the essence of which is to approximate signals by using time-frequency atoms with linear phases. Unfortunately, most of real signals are transient signals having time-varying frequency,namely, instantaneous frequency (IF). The time-dependence of IF requires us to represent a signal as superposition of time-frequency atoms with nonlinear phases. Although the introducing of the notion of analytic signal and the algorithm named Emperical Mode Decomposition(EMD) offer some breakthrough to this issue, the corresponding mathematical theories are still open problems. Recent study shows that the method of nonlinear Fourier atoms offers a new approach to this issue. Here, nonlinear Fourier atom means the boundary-value on the unit circle of any inner function consisting of Blaschke products and singular functions. This project devotes to a systematic investigation of time-frequency analysis based on nonlinear Fourier atoms, which covers integral transformations with nonlinear-phase kernels, representation theory of group beyond Heisenberg, construction of bases (frames) with nonlinear phase,adaptive approximation and algorithms. The goal of this project is to found the theory of time-frequency analysis suitable for processing of transient signals and offer fast algorithms for analysis and processing of real data.

传统的时频分析方法如光谱分析、小波分析、Wigner分布等都是由Fourier分析衍生的，其本质是用常数频率的时频原子去表示信号。而实际信号大多是瞬变的，其瞬时频率的时变特征要求用非线性相位的原子去表示。解析信号定义的引入和经验模型分解算法是对该问题的重要突破，但它们的数学理论一直没有建立起来。近期的研究显示非线性Fourier原子为这个方向提供了新的研究角度。非线性Fourier原子是指单位圆盘上的Blaschke积和奇异函数构成的内函数在单位圆周上的边值。本项目将系统研究基于非线性Fourier原子的时频分析，包括具有非线性相位核的积分变换、超越Heisenberg群的表示理论、非线性相位基（框架）的构造、自适应逼近和算法理论。终极目标是期望建立一套实用的针对瞬变信号处理的时频分析方法，可应用于各类实际数据的分析和处理。

本项目研究基于非线性傅里叶原子的时频分析，涵盖时频变换、框架(基或者字典)理论以及快速算法三个方面。这里非线性傅里叶原子是指单位圆盘或上半平面Blaschke积的边值。这类函数的相位是非线性的，即瞬时频率是非常数的时变函数。更为重要的是它们自身满足Bedrosian恒等式，是结构最简单的单频率成分信号。因此本项目是对傅里叶分析非线性化的这一重大研究课题的重要尝试，涉及到基础数学、信息科学、物理等学科融合，是一项具有挑战性的研究课题。我们完成了项目研究计划，取得了部分有意义的研究成果。构造了一类时频积分变换，其中核函数以非线性傅里叶原子为调制项、并选取光滑函数施加平移与伸缩后生成，我们证明了两种情形可导致完全重构公式。研究了上半平面Blaschke积正交化后生成的TM系统，发现其调制与伸缩结构，并一般性地构造空间的基和框架, 且将其延拓到四元数与Clifford值情形。研究了TM系统的谱算子问题，证明它们联系到一般化的Sturm-Liouville算子，对于解释TM系统表示的物理意义有重要作用。将贪婪算法与TM系统中参数的选取结合，设计了一种自适应逼近的快速算法，将其用于密度函数估计、并进一步讨论了TM系统相关的1-范数意义下压缩感知算法。