随机连接图模型的极限性质研究

Random graph, as a powerful tool to study on complex networks, has obtained a lot of attention from researchers in mathematics and physics. Some nice results have been obtained, but there are still many important issues need to be addressed. This project intends to study random connected graph model with random vertices and random edges, which is a generalization of classic random graph with fixed vertices and random edges. It encompasses many graph models such as the well-known classic percolation model and continuum percolation model, local dependent percolation and random geometric graph model.. We will use dependent graph, tesselation, stabilization and renormalization methods to study some classic limit theorems (included CLT, LLN, LDP and MDP, etc.), Poisson approximation and asymptotic connectivity of random connected graph models. The study of this project will enrich the limit theory of random connected graph models and give theoretical reference to applications of random graph models in reality.

近十几年来，随机图作为研究复杂网络的一个有力工具，得到了很多数学和物理研究者的关注，并得到了很多漂亮的结果，但是仍然有很多重要的问题函待解决。本项目拟研究具有随机顶点随机连边机制的随机连接图模型。它是以往的固定顶点随机地连边的经典随机图模型的推广，包含了众所周知的渗流和连续渗流模型，局部相依渗流和随机几何图等图模型。. 我们拟采用相依图方法、Tesselation 方法、稳定化与重整化等方法去研究随机连接图模型的经典极限定理（包括CLT、LLN、LDP和MDP等）和Poisson逼近，以及随机连接图的渐近连通性。通过本项目的研究将建立并完善随机连接图模型的极限理论，为随机图模型在现实生活中的应用提供理论参考。

无论是在社会科学，生命科学还是在信息科学研究中，都存在着拥有十分复杂的拓扑特征的网络结构。大数据时代复杂网络和随机图自然成为研究具有复杂数据结构模型的有力工具。本项目在几个特殊情形下的随机连接图模型研究的基础上，研究了由Poisson点过程驱动的随机连接图模型的一些统计量的经典极限定理：中心极限定理，大偏差定理，大数定律等，主要涉及的统计量有向边的长度和等；研究了随机连接图模型的孤立点数目的Poisson极限; 还将随机图与复杂网络理论应用到金融领域,实证结果表明，上证指数收益率对股票相关性网络的聚类系数有负效应，对平均最短路径有正效应，表明中国资本市场上升的动量具有分散化的特征；同时，相关性网络的聚类系数对网络同步性有正效应，平均最短路径则对网络同步性有负效应。