近临界随机环境中随机游动的若干极限性质

The prime concern of this program is to consider the near-critical random walk in random environment. This program consists of three parts. In the first part, we will study the scaling limit of the process. We hope to construct a sequence of the near-critical random walks in random environment and prove it convergence to the diffusion process in a Bessel environment by proper scaling. In the second part, we will study the convergence of the local time.We will prove that the local times of a sequence of near-critical random walks in random environment convergence to those of diffusion process in a Bessel environment by proper scaling. In the third part, we will study the velocity of the process. We will prove that, divided by a proper order, the near-critical random walks in random environment will converge in distribution to a random variable.

本项目旨在研究近临界随机环境中的随机游动。主要研究内容分为三个部分：1. 研究过程的重整化极限，我们希望构造一列近临界随机环境中的随机游动，使其经过适当的重整化收敛到位势为Bessel过程的随机环境中的扩散过程。2. 研究局部时过程的收敛，证明近临界随机环境中随机游动的局部时过程经过适当的重整化收敛到位势为Bessel过程的随机环境中扩散过程的局部时过程。3.研究过程的渐进速度，证明近临界随机环境中随机游动除以适当的阶，会依分布收敛到某一随机变量。

随机环境中的随机游动是概率论的重要分支，也是近年来概率研究的前沿热点领域，在统计物理、生物数学等中有重要应用。本项目旨在研究近临界随机环境中的随机游动。主要研究内容分为三个部分：研究过程的重整化极限、研究局部时过程的收敛、研究过程的渐进速度。随机环境中随机游动的位势过程是一般随机游动，位势过程的研究对随机环境中随机游动的研究有重要意义。对于近临界随机环境中的随机游动的位势过程，Lamperti证明了在适当条件下，半直线上一类近临界的紧邻随机游动经过重整化会弱收敛到布朗运动。考虑过程局部时重整化的极限问题。运用随机游动中的内蕴分枝结构以及非时齐分枝过程重整化极限的结果，我们证明了其局部时经过适当的重整化会收敛到布朗运动的局部时。