非齐次随机图和随机相交图的概率极限性质的研究

With the rapid development of information technology, a large number of complex networks are produced in real life. Researchers from many different fields established a lot of theoretical models to describe and explain these complex networks. The study on random graphs and complex networks is also one of the important areas in probability theory. The research objects of this project are two complex networks models—inhomogeneous random graphs and random intersection graphs. We’ll use the self-normalized method, Stein-Chen method and some general methods in random graphs and limit theory. The problems about the vertex degrees, giant component, the graph distance between two random vertices and random walks on graphs will be studied. Limit theorems will be established to enrich the results of the models. Through this project, we’ll prove the basic properties of complex networks: small world, high clustering and scale free, which can be applied to help understand and analyze complex networks in real life.

随着信息技术的迅猛发展，现实生活中产生了大量的复杂网络，各种不同领域的学者建立了很多理论模型去描述和解释这些复杂网络。随机图论和复杂网络的研究也成为概率论理论研究的一个热门方向。本项目的研究对象就是非齐次随机图和随机相交图这两种复杂网络模型。我们将采用自正则方法，Stein-Chen方法以及随机图论和极限理论中的一些常见方法，对两种复杂网络模型的顶点度数，最大连通分支，顶点之间的距离以及图上的随机游动等问题进行研究，建立各种极限定理，充实和完善这两种模型的理论结果。通过本项目的研究，我们将从理论上去证明复杂网络的小世界性，高集聚性和无标度性等特性，帮助人们去理解现实生活中的复杂网络，探寻复杂网络产生的原因，为现实生活服务。

随着信息技术的迅猛发展，现实生活中产生了大量的复杂网络，各种不同领域的学者建立了很多模型和理论去描述和解释这些复杂网络。随机图论和复杂网络的研究也成为概率论理论研究的一个热门方向。本项目采用自正则方法，Stein方法以及极限理论中的一些其它工具和方法，研究了非齐次随机图和随机相交图的多种结构，如总边数、三角形数目、最大连通成分和最大树成分等的极限性质，研究了树状以及通过递推方法构建的复杂网络模型的度分布，聚集系数以及直径等的极限性质。我们的研究丰富了复杂网络理论研究的内容；展示了复杂网络性质上的复杂性，当参数发生细小变化时，图的性质会产生突变；沟通了复杂网络与Erdos-Renyi图等模型；有助于加强人们对复杂网络的理解。我们还利用图收敛的工具研究了图上的递增路径数目以及通过递增路径形成的点簇的数目，这提供了研究递增路径的一种方法同时也给出了图收敛的一种应用。此外，我们还与统计中的一些问题结合建立了多个极限定理。