二维Euler方程组的Y-型两维黎曼问题

一维Euler方程组的黎曼问题在建立双曲守恒律方程组的弱解理论中发挥了基础性作用。其高维黎曼问题的研究常涉及非线性基本波复杂的相互作用和混合型方程的研究，很具挑战性。本项目主要研究Chaplygin气体状态下Euler方程组初值在三个等角扇形区域分别为常值的二维黎曼问题。本项目的特点是：1）基本波及其相互作用的结构简洁但仍具有代表性，且初始间断数少，从而使黎曼初值可变化的范围明显地增大，这样可研究更一般的二维黎曼问题波的典型结构；2）亚音速部分主要是对一个退化椭圆型方程的正则性问题进行研究。本项目可利用特征分析、速度图变换等方法，并可借鉴D.Serre等关于退化椭圆方程的一些新想法以及Gilbarg和Trudinger等的经典研究技巧分别探讨双曲部分和椭圆部分。本项目将深入研究黎曼初值充分接近时该问题波的结构及整体可解性。这些研究有助于了解和研究Euler方程组更一般的高维黎曼问题。

一维Euler方程组的黎曼问题在建立双曲守恒律方程组的弱解理论中发挥了基础性作用。其高维黎曼问题的研究常涉及非线性基本波复杂的相互作用和混合型方程的研究，很具挑战性。本项目主要研究Chaplygin气体状态下Euler方程组的二维黎曼问题及黎曼初边值问题整体解的存在性，解的结构及性态：1）得到了Y-型二维黎曼问题初值变差相对小时解的整体存在性，对解的结构进行了完整的分类，并给出了初值和解的结构之间的一个简明判别法则，是Euler方程二维黎曼问题有数学证明的首个系统完整的理论结果。2）对一个二阶退化椭圆型方程在带角点的凸区域上的混合型边值问题解的正则性进行了估计，得到了解的存在性。3）对Chaplygin气体含狄拉克奇性的波的相互作用进行了细致分析。本项目特点：基本波及其相互作用结构清晰，同时具有高维黎曼问题的典型困难。本项目的研究结果有助于了解和研究Euler方程组更一般的高维黎曼问题。