超音速绕流及线性退化双曲组中若干问题的研究

Multi-dimensional piston problems and initial value problems for linearly degenerate partial differential equations in quasi-linear hyperbolic conservation laws have physical backgrounds and are useful in applications. They have attracted a lot of attention in recent years. This project investigates the solvability and the structure of the solutions of piston problems both for Chaplygin gas and potential flow. Based on Chaplygin gas, we study the existence of solutions of linearly degenerate huperbolic equations with large initial data. Since the theoretical study of them involves the analysis of equations of mixed type as well as the application of measure theory in the weak theory of hyperbolic conservation laws, the study on these problems is challenging. We will overcome these difficulties by using the method of character analysis, the way of analyzing equations of mixed type, and the relationship between physical backgrounds and mathematics, as well as developing some new ideas and methods. Our research will make contributions to the development of the weak theory of initial boundary value problems for multi-dimensional conservation laws.

双曲守恒律方程组研究中的高维活塞问题及线性退化方程组大初值问题具有重要的物理背景与应用价值，近年来受到国内外同行的高度关注。本项目一方面研究Chaplygin气体和位势流的高维活塞问题的可解性及解的结构，另一方面，基于Chaplygin气体研究线性退化双曲组大初值问题解的适定性等。相关理论分析涉及混合型方程的可解性以及测度论在偏微分方程弱解理论中的应用等，具有一定难度。本项目将综合利用特征分析法及混合型方程的一些处理方法，充分发掘所考察模型的物理背景与数学理论之间的联系，并引入新的研究思路和方法。本项目的研究有助于对一般高维守恒律方程组初边值问题弱解理论的进一步探索。

本项目主要研究具有航空航天背景的可压缩欧拉方程组气体动力学的弱解和测度解的数学理论，取得了如下结果：1）我们得到了Chaplygin气体二维活塞问题大初值情形的可解性，并对解的结构与初边值之间的关系进行了刻画与分类；2）我们提出了可压缩欧拉方程Radon测度解概念，利用该概念研究了二维绕楔、三维绕零攻角圆锥等典型物理问题的高超音极限问题、多方气体一维活塞问题的高超音极限和Chaplygin气体的一维活塞问题的Radon测度解，从数学分析的角度导出了物理中著名公式。3）欧拉流绕凸楔流动，给定外界大气压小于来流压强时，证明了三维问题含疏散波和接触间断解的局部稳定性，用严格数学理论回答了Courant和Friedrichs关于这一问题的猜测。其中不同退化类型的特征自由边值的本质困难是通过引入新的加权估计办法解决。4）我们构造得到了Chaplygin气体初值为四片常态的黎曼问题大初值解的存在性，给出了不出现强奇异间断的充分条件。证明了一维Chaplygin气体初始密度无局部正下界和正上界的大初值问题整体解的适定性，得到了欧拉方程组初值为$L^1$可积的整体弱解的存在唯一性，推广了以往欧拉方程的$L^\infty$解理论。