Banach空间上的非线性ε-等距和粗Lipschitz映射

The study of Lipschitz mappings in Banach spaces is one of the central topics in functional analysis and it involves many branches of mathematics. In this project, we will study stability of coarse Lipschitz mappings-generalization of Lipschitz mappings . We will combine the method in study of nonlinear ε-isometries with classical analysis of Lipschitz mappings to consider the following problems:..(1)stability of nonlinear ε-isometries in Banach spaces;.(2)stability of coarse Lipschitz mappings in Banach spaces;.(3)linearization of coarse Lipschitz mappings;.(4) coarse Lipschitz embeddings.

Banach空间中的Lipschitz映射是泛函分析中经常研究的一类映射,它的研究联系着诸多数学分支。本项目研究一类Lipschitz映射的推广-粗Lipschitz映射的稳定性问题。我们利用研究非线性ε-等距的方法同研究Lipschitz映射的传统分析方法有机结合起来，探讨和解决如下问题：.（1）Banach空间中非线性ε-等距的稳定性问题；.（2）Banach空间中粗Lipschitz映射的稳定性问题；.（3）粗Lipschitz映射的线性化问题；.（4）粗Lipschitz映射的嵌入问题。

本项目主要研究Banach空间上非线性ε-等距和粗Lipschitz映射的嵌入、稳定性及其应用，属于Banach空间几何、非交换几何、几何群论和粗几何的热门交叉领域，有着重要学术价值，主要结果如下：.(1)证明了可分内射空间、C(K)-空间、Bourgain-Delbaen空间（Acta Math, 1980）和Argyros-Haydon空间（Acta Math, 2011, 解决了著名的数乘紧问题所构造的遗传不可分解空间）等所有 ℒ∞-空间上非线性ε-等距的弱稳定性。特别地，. ①当它同构于对偶空间时获得稳定性；证明了对于任意的可分空间Y，(X，Y)是稳定的当且仅当X是可分内射空间，推广了前期成果，即去掉X是可分的假设；因此证明了在Benyamini空间、Johnson-Lindenstrauss空间和c0(I)的非平凡弱紧生成扭曲和等所有可分内射空间上非线性ε-等距的稳定性，从而得到一些经典空间对的稳定性；. ②证明了当K具有Stone-Cech性质和Y*具有w*-PCP性质（或Y可分）时，(C(K), Y)是稳定的；. ③证明了万有左稳定空间的二次对偶是内射空间和万有左稳定空间是ℒ∞-空间；证明了对于对偶空间来说，内射性、等势内射性、可分内射性、万有左稳定性和万有可分左稳定性等价；.(2)首次提出并研究一对Banach空间（X，Y）的粗稳定性，即若存在粗Lipschitz嵌入f:X→Y，则存在Lipschitz映射T:L(f)→X使得Tf-Id在X上有界。粗稳定性也意味着此情况下，若存在粗Lipschitz嵌入，则它存在Lipschitz逼近可逆元。. ①证明了对于任何指标集I，c0(I)是绝对2-Lipschitz收缩空间，推广序列空间c0是绝对2-Lipschitz收缩空间的经典结论；. ②证明了当X是绝对Lipschitz收缩空间(任意的Banach空间，L2)和Y是任意的Banach空间(Hilbert空间，Lp-空间（2 < p < +∞）)时（X，Y）是粗稳定； . ③证明了对任何空间对（X, Y），非线性ε-等距的稳定性定理对某个连续映射T: L(f) → X成立。.(3)应用：在非线性ε-等距扰动下的基序列保持问题；探讨对偶空间上非凸函数凸化的次微分表示与非线性ε-等距的联系。