Banach空间上的Lipschitz算子及其相关问题的研究。

This project mainly considers Lipschitz map as a tool to study the relationship of the Lipschitz structure and the linear structure of Banach spaces and its subspace. By the study on the differentiability of the Lipschitz maps the frontier topics of the functional analysis space theory: Lipschitz homeomorphism problem, Lipschitz embedding problem and isometric local embedding are organically combined and mutual learning as a comprehensive research. In addition, the full use of the characteristics of Lipschitz-free space transformed the nonlinear problem into a linear problem. This provids new ideas and ways for Tingley problem and develops the theory of Lipschitz-free space of the Banach space. This project can help us better understand the geometry, linear structure and metric structure of the space and their relationship, and provide theory basis and a research tool for nonlinear functional analysis in the practical application.

本项目主要以Lipschitz算子为工具，研究Banach空间及其子空间的Lipschitz结构和线性结构的关系。 我们通过对Lipschitz算子的可微性的研究将泛函分析空间理论的前沿课题：Lipschitz同胚问题，Lipschitz嵌入问题以及等距局部嵌入问题有机结合起来，相互借鉴，综合研究。除此以外，本项目充分利用了Lipschitz-free空间的特性，把非线性问题转化为线性问题， 从而为Tingley问题的研究提供新的想法和途径， 同时，也发展了Banach空间上Lipschitz-free空间的理论。 本项目的研究可以帮助我们更好地了解空间的几何结构，线性结构和度量结构及它们之间的关系，为非线性泛函分析在实际中的应用提供理论依据和研究工具。

本项目主要以Lipschitz算子为工具，研究Banach空间及其子空间的Lipschitz结构和线性结构的关系。此课题涉及等距同构等几何热点问题，在理论上既有历史渊源又有现实意义。项目大致按照计划进行，主要致力于Lipschitz算子的可微性和等距局部嵌入问题的研究。 我们通过对Lipschitz算子的可微性（Gateaux可微性）讨论达到将Lipschitz算子线性化的目的, 从而可以运用Lipschitz算子的微分算子刻画具有RNP性质的可分Banach空间的Lipschitz数值指标，并证明了其与此Banach空间的数值指标一致。等距局部嵌入方面我们引入了T-性质和一类新的空间，命名为推广的lush 空间(此类空间包含almost-CL 空间，可分的lush 空间，故而包含一类有用的空间C(K)的可分C-rich 子空间，以及2维的六边形空间)，我们运用等距局部嵌入不等式在此类空间中肯定回答了Tingley问题和等距局部嵌入问题。