Lipschitz函数空间的分解及其应用

In this project, we combine nonlinear geometry of Banach spaces with coarse geometry to study metric spaces, especially the embedding theory on Banach spaces and the structure of Lipschitz function spaces. The specific research aspects are as follows.(1) By establishing the universal coarse stability inequality corresponding to coarse Lipschitz embedding, the coarse stability of metric spaces is studied;.(2) we study the decomposition of Lipschitz function space and the special structures and properties of some subspaces and quotients. For example, we study the related structures and properties of ultrafilter-approximately positively homogeneous and standard Lipschitz function space;.(3) we study the Lindenstrauss problem: whether a Banach space is a Lipschitz retract of its second dual space.

本项目将Banach空间非线性几何与粗几何有机结合来研究度量空间，特别是Banach空间上的嵌入理论以及Lipschitz函数空间的结构，具体研究内容如下：.（1）通过建立相应于粗Lipschitz嵌入的万有粗稳定性不等式来研究度量空间的粗稳定性；.（2）研究Lipschitz函数空间的分解及其某些子空间和商的特殊结构和性质，例如：研究超滤子-逼近正齐次标准Lipschitz函数空间的相关结构和性质；.（3）研究Lindenstrauss问题：Banach空间是否是其二次对偶空间的Lipschitz收缩。

本项目将Banach空间非线性几何与粗几何有机结合来研究度量空间，特别是Banach空间上的嵌入理论以及Lipschitz函数空间的结构，取得的结果概括如下：. （1）我们建立了相应于粗Lipschitz嵌入的万有粗稳定性不等式，于是推广了Cheng-Dong-Zhang定理。. （2）我们利用上述万有粗稳定性不等式证明了不是每一对度量空间（Banach 空间）都粗稳定，并获得了较弱的粗稳定性。. （3）我们也利用上述万有粗稳定性不等式建立了粗稳定性与Lipschitz可收缩性的关系。确切地，我们证明了每一个万有左粗稳定空间是绝对局部等势Lipschitz收缩空间，绝对等势Lipschitz收缩空间是万有左粗稳定的，对于对偶空间，三者等价。我们也证明了自反空间是万有右粗稳定的当且仅当同构于Hilbert空间。. （4）在某些较弱假设下反面回答了Lindenstrauss问题。确切地，我们证明了假如X是万有左粗稳定空间而非绝对等势Lipschitz收缩空间，那么X不是其二次对偶空间的Lipschitz收缩。我们也证明了若X是具有RNP性质的万有右粗稳定空间而非粗同胚或一致同胚于Hilbert空间，则存在可分空间不是其二次对偶空间的Lipschitz收缩。. （5）令K是紧Hausdorff完美正规空间和T是紧Hausdorff空间，我们证明若F：C+(K)→C+(T)是连续函数空间正锥之间的相位等距，则存在非空闭子集S⊂T使得FS：C+(K)→C+(S)是可加等距。而且如果F是几乎满的，那么K和T是同胚的，F是由该同胚诱导的连续函数空间之间满线性等距的限制。